Математика \ Математика

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных, страница 3

Пример.  f(x,y)=xexy;  a=[1;2]. Df(x,y)=[exy(1+xy);x2exy]

è

 

-------------------------------------------------------------------

Замечания.

2. Очевидно, что для функции “n” переменных определены “n” первых частных производных, “n2” – вторых,… “nк” частных производных порядка “k”.

1. Df(x)- матрица-строка [1xn]; D2f(x) –двумерная матрица (таблица) [nxn]; D3f(x) – трехмерная (кубическая) таблица [nxnxn]:

Например, для n=2 D3f(x,y)=:  

2. Очевидно, что для функции “n” переменных определены “n” первых частных производных, “n2” – вторых,… “nк” частных производных порядка “k”, из которых nk-n являются смешанными, причем часть из них различаются лишь порядком дифференцирования, например,

Теорема.(без док-ва). Непрерывные смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования.

Следствие. Матрица Гессе G(a) дважды непрерывно дифференцируемой ФНП является симметричной и имеет  не более  различных элементов. Например, для f(x,y)=xexy 

§7.Локальные экстремумы ФНП; необходимое условие; стационарные точки.

Пусть функция f непрерывна в точке

Сравним значения f(a) и f(ПО(а,r)).

Определение 1.

Если , точка а называется точкой локального минимума функции;

Если , точка а называется точкой локального максимума функции.

Определение 2. Точка а=[a1,..,ai,..,an]tдифференцируемой функции f называется стационарной, если

Пусть точка а является точкой локального экстремума (т.л.э.) ФНП f.  Из определения 1 ( следует, что точка “ai” функции одной переменной  так же является т.л.э. и следовательно:  либо , либо

Таким образом, из определений 1,2  и определения   следует

Необходимый признак локального экстремума непрерывной ФНП: частные производные ФНП в точке либо равны нулю, либо не существуют.

Геометрически для функции двух переменных локальный экстремум связан с касательной плоскостью к непрерывной в точке А(аx,ay,f(ax,ay))поверхности z=f(x,y): если касательная плоскость в точке существует, она горизонтальна () и поверхность в ПО(а,r) расположена выше или ниже ее;

либо касательная плоскость в точке не существует.

Например,  вершина А(0,0,0) конической поверхности соответствует минимуму функции и в А не существует касательной плоскости.

В точке А(0,0,1) верхней полусферы  касательная плоскость z=1 горизонтальна и функция  достигает в точке максимума fmax=f(0,0)=1.

Важное замечание. Дифференцируемая функция достигает локального экстремума только в стационарной точке, но не всякая ст. точка является точкой локального экстремума.

§8 Формула Тейлора 2 порядка для ФНП; достаточное условие локального экстремума гладкой функции двух переменных.

Пусть в точке а функция  имеет непрерывные вторые частные производные ó

Теорема (без док-ва).Если ФНП имеет непрерывные вторые частные производные в точке а, в некоторой окрестности этой точки имеет место формула Тейлора 2 порядка:

Для функции двух переменных f(x,y) и точки

Если точка х0 - стационарная точка функции (Df(х0)=[0,0]), разность значений функции в достаточно малой окрестности точки xèx0

 

определяется квадратичной формой, причем матрица квадратичной формы – симметричная матрица Гессе

Из линейной алгебры известно, что в прямоугольной системе координат , определяемой собственными векторами  матрицы:  , квадратичная форма имеет канонический вид

,                (1)

причем собственные числа матрицы G(a) являются решениями уравнения

           (2)                  и по теореме Виета:

Скачать файл