Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных, страница 2

Следствие. Если функция f дифференцируема в точке а, то:

1.  в точке а существуют все ее частные производные;

2.  при хèa имеет место формула Тейлора 1 порядка

Докажем для n=2 –f дифф. функция двух переменных:

1)Рассмотрим «частный» предел вдоль прямой L_x ||OX:y=a_y=const; xèa_x:

Аналогично докажем, что

2)  Подставив найденные значения А и В, получим:

«Воспоминания» из аналитической геометрии.

Плоскость α задается в R³ точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и нормальным вектором

Прямая l задается в R³ точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и направляющим вектором

Пусть z=f(x,y)- гладкая поверхность и M₀(x₀,y₀,z₀=f(x₀,y₀))- точка на этой поверхности.

Запишем полином Тейлора 1 порядка для функции f в окрестности точки М₀ :

Очевидно, что уравнение z=T₁(x,y;x₀,y₀) определяет в R³ плоскость

, которая проходит через точку поверхности M₀(x₀,y₀,z₀=f(x₀,y₀)).

Определение 3. Плоскость (1) называется касательной плоскостью к гладкой поверхности z-f(x,y) в точке М₀.

Пример.  f(x,y)= xe^xy;  x₀=[1,2]^t;  M₀(1,2,e²).

T₁(x,y;1,2)=e²+3e²(x-1)+e²(y-2) – полином Тейлора 1 порядка;

z=xe^xy – гладкая поверхность; 

e²[1+3(x-1)+(y-2)]- касат. плоскость

!!! В дальнейшем будем отождествлять дифференцируемость ФНП в точке a€Rⁿ, формулу и полином Тейлора 1 порядка в окрестности точки а и существование касательной плоскости и нормали к гладкой поверхности в  точке M(a,f(a)):  f_дифф(a) ó f(x)=f(a)+Df(a)(x-a)+o(||x-a||) ó α_КАС(M;nα=[Df(a);-1]^t;  l_N(M;S_l=nα).

§5. Производная ФНП по направлению; свойства градиента ФНП в точке.

«Предисловие… из прошлого». 

·  Если то   - соответствующий единичный вектор ()  и.

Пусть ФНП f дифференцируема в точке а и задан вектор, определяющий в точке а некоторое направление.

Запишем для точки   формулу Тейлора 1 порядка:

Определение 1. Производной ФНП f в точке а в направлении L называется число

равное скалярному произведению градиента функции в точке на вектор направления, деленному на норму этого вектора.

Следствия.

1. Модуль  определяет «скорость изменения» функции f в точке в заданном направлении, при этом величина скорости равна

2. Если в точке в направлении L.

3. Так как наиб.{|cos|}=cos(o)=1, функция f с наибольшей скоростью

Пример.  f(x,y)=xe^xy;  a=[1;2]^t;  L=[1;1]^t.

è gradf(a)=e²[3;1]^t;

---------------------------------------------------------------------------

§6.Частные производные высших порядков. Матрица Гессе.

Пусть ФНП f дифференцируема в области  и непрерывны все ее частные производные функции “n” переменных , для каждой из которых определены ее частные производные.

Определение 1. Частную производную  функции  называют второй частной производной ФНП и пишут:

Например, для функции n=2 переменных таким образом определены 4 вторые частные производные:  («дэ два эф по дэ икс дважды»);

(«дэ два эф по дэ икс дэ игрек»); .