Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Глава «Дифференциальное исчисление Функции Нескольких Переменных (ФНП). 1

§1. ФНП-определения. 1

§2. Предел и непрерывность ФНП. 2

§3. Частные производные, производная и градиент ФНП. 4

§4 Дифференцируемость ФНП; формула Тейлора 1 порядка. Касательная плоскость и нормаль к гладкой поверхности z=f(x,y). 5

§5. Производная ФНП по направлению; свойства градиента ФНП в точке. 8

§6.Частные производные высших порядков. Матрица Гессе. 9

§7.Локальные экстремумы ФНП; необходимое условие; стационарные точки. 11

§8 Формула Тейлора 2 порядка для ФНП; достаточное условие локального экстремума гладкой функции двух переменных. 12

§9 Понятие о методе градиентного спуска. 14

Глава «Дифференциальное исчисление Функции Нескольких Переменных (ФНП).

§1. ФНП-определения.

«Воспоминания»: Если заданы два множества  и однозначное соответствие (вило) f: , то

говорят, что на множестве D_f (область определения) задана функция f, значения которой f(d) принадлежат множеству E_f (множество значений),

Пусть x=»точка» в “n”-мерном координатном пространстве и  D_f={x}

Определения.

1) Функция  называется «скалярной (числовой)» функцией “n” переменных.

Например, f(x,y)=x+xe^y;   f(1,2)=1+1e²;  f(2,1)=2(1+e).

2)Функция   называется «векторной» функцией одной переменной. Например,

3) Функция   называется «векторной функцией “n” переменных.

Например,

Замечание. Так как функции f_II, f_III представляют упорядоченный набор скалярных функций “n”-переменных, в дальнейшем по умолчанию будем рассматривать дифференциальное исчисление скалярной функции “n”-переменных.

3)Суперпозиция ФНП.

Например,

 

§2. Предел и непрерывность ФНП.

Пусть - заданная точка.

Окрестность точки a= 

- [«открытый шар» в R^3; «открытый круг» в R²] радиуса r с центром в точке a; «открытый интервал» ]a-r;a+r[ в R.

Проколотая окрестность точки ПО(a,r)=  

Предельная точка а множества X={x}:  (любая ПО точки содержит точки множества !!)

Пусть  и a- предельная точка D_f.

Определение. Число А называется пределом скалярной функции f в точке а,

Замечание. Предел функции в точке существует, если он не зависит от «пути предельного перехода»

Например,

Определение.  Функция называется непрерывной в точке а, если

(1)(2)

Замечания.

1.  элементарные функции непрерывны во внутренних точках области определения.

2.  Непрерывная в замкнутой области D_f скалярная функция принимает в точках области все значения от наименьшего “m” до наибольшего “M”, т.е. E_f=[m;M];

3.  «графиком» скалярной функции “n”-переменных называется множество точек в “n+1”-мерном координатном пространстве Rⁿ⁺¹_:

n=1(ФОП) – линия y=f(x) на плоскости R²;

n=2 – поверхность z=f(x,y) в R³,проекция которой на плоскость ХОУ= D_f !!!

4.  Из свойств непрерывной функции следует «метод интервалов» решения неравенств f(x,y)<(>)0.

Алгоритм этого метода для n=2.

(1) «Выколоть» на плоскости точки и линии, в которых функция не определена.

(2)Решить уравнение f(x,y)=0 и изобразить соответствующие «нулевые решения» - точки и линии «нулевого уровня» функции на плоскости.

(3)Определить «знак» функции в каждой части плоскости, ограниченной смежными «нулевыми линиями»,- вычислив значение функции в какой-нибудь внутренней точке.

(3)»Срисовать» решение неравенства.

Пример. Решить неравенство

(1)- прямая на плоскости.

(2)f(x,y)=0ó|x|=|y| ó y=±x

Экз.задача. Изобразить D_f на плоскости для функций:

§3. Частные производные, производная и градиент ФНП.

Пусть функция   непрерывна в точке . Зафиксируем все переменные x_i=a_i; i=1:n; i≠k равными соответствующим координатам точки а, за исключением ОДНОЙ переменной х_к и рассмотрим функцию ОДНОЙ переменной

 -сужение функции f на прямую L_k, проходящую через точку а параллельно «к»-ой координатной оси. Очевидно, что функция  непрерывна в точке «а_к».

Определение 1.  Если в точке «а_к» существует производная  этой ФОП, ее называют частной производной ФНП f в точке а  и пишут:

                               (1)         

Следствия.

1.  Аналогично в точке а определены «n» частных производных ФНП.

2.  При нахождении частных производных ФНП «работают» правила дифференцирования ФОП.

3.  Если  определена в каждой точке множества , на множестве D_k определена частная производная функция «n»

Определение 2.  Если в точке  существуют все “n” частных производных,

- матрица-строка  называется производной функции f в точке а;

- вектор   называется градиентом функции f в точке а

==============================

Пример.  f(x,y)=xe^xy непрерывна в R² и а=[1;2]^t

§4 Дифференцируемость ФНП; формула Тейлора 1 порядка. Касательная плоскость и нормаль к гладкой поверхности z=f(x,y).

Определение 1. Функция f называется дифференцируемой в точке непрерывности a=[a_x;a_y]^t, если ее значения в некоторой окрестности О(x₀,r) отличаются от значений полинома первого порядка на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем ;

Например, для n=2 :  

Теорема (без док-ва). Если в точке непрерывности а существуют и непрерывны все частные производные функции f, функция f дифференцируема в точке.