Задача ставится
так: вычислить и
. Рассмотрим число
.
. Последняя сумма
является суммой геометрической прогрессии с первым членом
и знаменателем
. Формула этой суммы
остается верной и для прогрессии из комплексных чисел, поэтому
. В выражении для
вынесем в числителе за
скобки
, а в знаменателе
. Получим
. Теперь заметим, что
. В последнем
выражении заменим числитель и знаменатель по этому равенству. Наконец,
. Понятно, что
вещественная часть этого числа равна
, а
мнимая -
, откуда
,
. Этим задача решена.
А теперь давайте
выразим и
через
и
. Предварительно
заметим, что
В следующих
вычислениях был использован бином Ньютона.
. Посмотрим на
последнее выражение. При
, что входит в
вещественную часть со знаком +. При
такое
число входит в вещественную часть со знаком -. Отсюда
. При
, что входит в мнимую
часть со знаком +. При
, что входит в мнимую
часть со знаком -. Вот мы и видим, что
. Осталось проверить
наши формулы на деле. Ну давайте выведем формулы «упятеренного» угла.
,
.
Теорема Птолемея. Пусть дан четырехугольник, вписанный в окружность. Тогда произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон.
Доказательство. Нарисуем наш четырех угольник на комплексной плоскости, так чтобы центр описанной окружности был совмещен с началом координат, а одна из вершин лежала на вещественной оси.
Положим, что радиус
окружности равен . Тогда
. Теперь стороны и
диагонали можно записать как модули разностей векторов.
,
,
,
,
,
. Нам надо доказать,
что
. Подставим в это
равенство наши выражения для сторон и диагоналей и сократим на
. Остается доказать,
что
. Теперь произведем
простое преобразование над первым слагаемым и заменим его на
. Мы знаем, что
и
(т.к.
). Тогда первое
слагаемое превращается в
. Заметим,
что
. Аналогично
. Поэтому первое
слагаемое превращается в
.
Последнее раскроем по формуле из тригонометрии, получим
. Проделаем аналогичные
операции для остальных произведений. Видим, что доказываемое утверждение
равносильно
. Во-первых,
, поэтому второе и
третье слагаемые в сумме в левой части сокращаются. После этого левая и правая
части совпадают посимвольно. Поэтому теорема Птолемея верна.
Задача. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Доказать, что отрезок, соединяющий центр одного из квадратов с противолежащей вершиной треугольника, равен и перпендикулярен отрезку, соединяющему два центра других квадратов.
Доказательство. Как мы уже говорили, комплексные числа можно
рассматривать как вектора. Тогда модуль комплексного – это длина
соответствующего вектора, сумма или разность комплексных чисел – это сумма или
разность их векторов, а перпендикулярность двух векторов равносильна тому, что
один получается из другого домножением на мнимую единицу. На нашей картинке
примем
за центр координат
(направление осей нас не волнует – оно может быть произвольным). Примем вектор
за комплексное число
, а вектор
за
. Нас интересуют
вектора
и
. Выразим их через
наши комплексные числа.
,
,
,
, наконец,
. Аналогично выразим
.
.
. Наконец
. Во-первых, сходу
видим, что
, откуда следует, что
. Так же очевидно, что
модули рассматриваемых векторов равны, что означает, что
. Что и требовалось
доказать в задаче.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.