Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Норма вектора и ее свойства. Матрица Грама скалярного произведения и ее свойства, страница 3

a₁a₁+ a₂a₂ +...+ a_ka_k = 0.

Скалярно умножим обе части этого равенства на a_i , i = 1, 2, ...,k, получим в силу свойств 1, 2

a₁(a₁a_i) + a₂(a₂a_i) +...+ a_i(a_ia_i) + ... + a_k(a_ka_i) = 0.

В силу ортогональности системы отсюда находим     a_i(a_ia_i) = 0   . Так как a_i ¹ 0 и скалярное произведение невырожденное, то a_ia_i ¹ 0. Таким образом

a_i = 0 для всех i = 1, 2, ...,k. Таким образом система векторов a₁, a₂ , ..., a_k  линейно независима. 

Теорема 2. Для любой линейно независимой системы векторов a₁, a₂, ..., a_m существует ортогональная система векторов b₁, b₂, ..., b_m таких, что каждый вектор b_j (j = 1, 2,…, m)  линейная комбинация векторов b_j (j = 1, 2,…, j).

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по k. При k =1 вторая система состоит из одного  вектора b₁ ¹ 0 и поэтому ортогональна. Предположим, что  теорема справедлива для k-1 векторов a₁, a₂ , ..., a_k-1, т.е. и поэтим векторам найдена ортогональная система ненулевых векторов b₁, b₂ , ..., b_k-1  с указанными выше свойствами.  Докажем утверждение для k векторов. Для этого ищем вектор b_k в виде:

b_k = b₁b₁ + b₂b₂ +...+ b_k-1b_k-1 + a_k ,                                                                  (2)

где значения коэффициентов b₁, b₂,... , b_k-1 находим из условия ортогональности b_k векторам b₁, b₂ , ..., b_k-1:

 b_kb_i = 0 , i = 1, 2, ...,k -1, которое можно записать в виде

b₁(b₁b_i) + b₂(b₂b_i) +...+ b_i(b_ib_i) +...+ b_k-1(b_k-1b_i) + a_kb_i  = 0.

Так как по предположению b_jb_i = 0 при всех i = 1, 2, ...,k -1, i ¹ j, то находим

b_i(b_ib_i) + a_kb_i = 0.

Так как b_i ¹ 0, то b_i b_i ¹ 0 и

b_i = (-a_kb_i )/(b_ib_i), i = 1, 2, ...,k -1.                                                                 (3)

При таком выборе коэффициентов a_i  вектор b_k ортогонален векторам b₁, b₂ , ..., b_k-1 и полученная ситема векторов  b₁, b₂ , ..., b_k ортогональна.

Выразим вектор b_k  через вектора a₁, a₂ , ..., a_k:

b_k = b₁a₁ + b₂(a₂₁b₁ +  a₂) + b₃(a₃₁a₁ + a₃₂a₂ +  a₃) + ... +b_k-1(a_k-11a₁ + a_k-12a₂ +...+ a_k-1k-2a_k-2 + a_k-1)+ a_k =

= (b₁+ b₂a₂₁ +  b₃a₃₁+ ... +b_k-1a_k-11)a₁ + (b₂+ b₃a₃₂ + ... + b_k-1a_k-12 )a₂ +...+ (b_k-2 + b_k-1a_k-1k-2)a_k-2 + b_k-1a_k-1+ a_k =

= a_k1a₁ + a_k2a₂ +...+ a_kk-1a_k-1 + a_k, где  a_k1, a_k2, ..., a_kk-1 Î Р. Вектор b_k ¹ 0. Действительно, если b_k = 0, то

a_k1a₁ + a_k2a₂ +...+ a_kk-1a_k-1 + a_k = 0 .

Отсюда следует, что система a₁, a₂ , ..., a_k линейно зависима, а это противоречит условию.

Определение 3. Базис пространства E_n называется ортогональным, если он образует ортогональную систему векторов.

Определение 4. Ортогональный базис e₁, e₂, ..., e_n называется ортонормированным, если все его векторы единичную длину.

Теорема 4.Любое n-мерное евклидово пространство обладает ортогональным базисом.

Теорема 5.Любое n-мерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.

Теорема 6.Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений соответствующих координат

Определение 7. Вектор a евклидова пространства называется нормированным, если его длина равна единице, т.е. |a| =1.

Определение 8. Ортогональный базис евклидова пространства E_n называется ортонормированным, если все вектора базиса нормированные, т.е. базис е₁, e₂, ..., е_n ортонормированный, если выполняются условия:

1° е_i×e_j = 0,  i, j = 1, 2, ...,n, i ¹ j;

2° е_i×e_i = 1,  i = 1, 2, ...,n.

Теорема 7. Любое конечномерное евклидово пространство Е_n обладает ортонормированным базисом.