Сложение матриц и умножение матрицы на число. Транспонирование матриц. Теорема об определителе произведения матриц

Обратная матрица для матрицы А существует тогда и только тогда, когда detA¹0, при этом обратная матрица находится единственным образом.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то матрица А называется невырожденной или неособенной матрице. В силу теоремы 5   A^-1 существует тогда и только тогда, когда матриц А невырожденная.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная матрица A^-1. Тогда по определению  А× A^-1=Е. Переходя к определителям и пользуясь теоремой 5 получим: . Отсюда  detA=|А|¹0. Необходимость доказана.

2. Достаточность. Пусть дана

,  |А|=d¹0.

Построим матрицу A^-1 следующим образом. Заменим каждый элемент матрицы А его алгебрамческим дополнением и получим матрицу

.

Полученную матрицу транспонируем и находим матрицу

(эта матрицы называется присоединененной или взаимной матрице к матрице А). Докажем тогда, что

.                                                                      (4)

Для этого докажем равенства (3).

.

По следствию из теоремы о разложении определителя по элементам ряда

Тогда

.

Аналогично доказывается, что A^-1×A=E.

Доказывая единственность обратной матрицы, допустим противное, что матрица А имеет две обратные матрицы . Тогда по определению  и свойствам умножения матриц имеем

.

Теорема доказана.

Доказательство этой теоремы дает алгоритм для вычисления обратной матрицы.

Пример 3. Найти обратную матрицу для матрицы

.

Вычислим определитель матрицы A,

,

Тогда обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения матрицы А и составим матрицу из алгебраических дополнений.

.

Транспонируем полученную матрицу:

.

Отсюда

.

6. Матричные уравнения и системы линейных уравнений. Пусть А квадратная матрица порядка n, матрица В имеет n строк, матрица С имеет n столбцов. Рассмотрим следующие матричные уравнения:

,                                                                          (5)

и

,                                                                          (6)

где X  и Y неизвестные матрицы.

Теорема 6. Если detA¹0 , то каждое из уравнений (5) и (6) разрешимо, имеет единственное решение, решения находятся соответствеено по формулам:

                                                                    (7)

и

.                                                                     (8)

Доказательство. Рассмотрим уравнение (5), так как уравнение (6) рассматривается аналогично. Покажем сначала, что если Х₀ решение уравнения (5) то оно находится по формуле (7). Действительно, имеем равенство А×Х₀=В. Умножаем обе части этого равенства на А^-1 и последовательно находим

А^-1×(А×Х₀)=А^-1×В,     (А^-1×А)×Х₀=А^-1×В,     Е×Х₀= А^-1×В,       Х₀=А^-1×В.

Покажем теперь, что матрица, найденная по формуле (7) является решением уравнения (5):

А×Х=А×(А^-1×В)=(А×А^-1)×В=Е×В=В.

Докажем, что решение уравнения (5) единственно. Действительно, если Х1 и Х₂ решения уравнения (5) то выполняются равенства:

А×Х₁=В и А×Х₂ =В.

Приравнивая левые части этих равенств последовательно получаем

А×Х₁=А×Х₂,   А^-1×( А×Х₁)=А^-1×(А×Х₂),  ( А^-1×А)×Х₁=(А^-1×А)×Х₂,  Е×Х₁=Е×Х₂, Х₁=Х₂.

Теорема доказана.

Запишем систему линейных уравнений, воспользовавшись определениеми равенства и умножения матриц. 

                                                            (9)

Система (9) равносильна матричному равенству

или

,

АХ=В,                                                                         (10)

где А - матрица систем, В - столбец свободных членов, Х - столбец неизвестных. Отметим, что система (9) равносильна матричному уравнению (10). Тогда по теоремы 6 получим следующее предложение.

Теорема 7. Пусть в системе линейных уравнений (9) число уравнений равно числу неизвестных  (m=n) и d=detA¹0. Тогда система линейных уравнений (9) имеет единственное рашение, которое находится по формуле

  Х=А^-1×В.                                                    (11)

По формуле (11) и способу вычисления обратной матрицы получаем

, где d_i получается из d заменой i-го столбца столбцом свободных членов. Отсюда получаем найденные ранее формулы Крамера:

.  

7. Элементарные матрицы.

Определение 8. Элементарными матрицам называются такие матрицы, которые получаются с помощью одного элементарного преобразования из единичной матрицы.

Таким образом элементарные матрицы получаются из единичной матрицы с помощью следующих элементарных преобразований: 1) перестановка двух строк (i-й и j-й) местами; 2) умножение какой-нибудь строки (i-й) на число с¹0; 3) прибавление к какой-нибудь строке (i-й) другой строки (j-й),  умноженной на число с. Они имеют соответственно следующий вид (первой указана единичная матрица, из которой получены следующие за ней элементарные матрицы, в каждой матрице выделены i-я и j-я строки и i-й и j-й столбцы):

 ,,,.

Элементарные матрицы обладют следующими свойствами.

1. Определители элементарных матриц не равны нулю и

.

2. Элементарные матрицы обратимы и обратные матрицы для элементарных матриц являются элементарными матрицами:

.

3. Если матрицу А порядка n умножить слева на элементарную матрицу порядка n, то с матрицей А произойдет элементарное преобразование с помощью которого элементарная матрица получена из единичной матрицы.

Свойство 1 следует из свойств определителя, свойство 2 доказывается