Скалярное, векторное и смешенное произведения векторов

220400                   Алгебра и геометрия                    Толстиков А.В.

Лекции 6. Скалярное, векторное и смешенное произведения векторов

План

1. Скалярное произведение
2. Векторное произведение
3. Смешенное произведение

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 197, с. 7-22.

2. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 72-87

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 16-26.

4. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 148-156.

1. Скалярное произведение

1. Числовая ось. Прямая l, на которой выбрано начало отсчета - точка O,  положительное направление и единичный отрезок, называется числовой осью. Числовую ось можно также задать точкой O и вектором e единичной длины, параллельным оси. Вектор e называется ортом числовой оси. В качестве единичного отрезка выбирается конец вектора  = e, отложенного от точки O.

Координатой точки A на числовой оси называется координата  x вектора  в базисе e:  = xe. Координату точки обозначаем символом A(x). Координаты точки устанавливают биективное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством R действительных чисел.

2. Угол между векторами.

Определение 1. Углом j между векторами a, b называется угол между направленными отрезками , , которыми изображаются данные вектора и которые отложены из одной точки.

Угол между векторами обозначаем символом Ð(a, b).

Если вектора a, b коллинеарны, то угол между векторами считается равным нулю. Если хотя бы один из векторов a или b нулевой,  угол между векторами a и b неопределен.

Угол меду векторами в пространстве не ориентированный. Угол меду векторами на плоскости ориентированный. Угол считается положительным, если поворот от первого вектора ко второму совершается в направлении против часовой стрелки. В противном случае угол считается отрицательным.

Нетрудно доказать, что угол меду векторами не зависит от точки O.

3. Векторная проекция вектора на прямую.

Определение 2. Проекцией точки A на прямую l называется основание A¢ перпендикуляра AA¢, опущенного из точки A на прямую l.

Определение 3. Проекцией направленного отрезка на прямую l называется направленный отрезок , где A¢ и B¢ соответственно проекции точек A и B на прямую l.

Определение 4. Проекцией (векторной проекцией) вектора a на прямую l называется вектор, изображаемый проекцией направленного отрезок,  который изображает данный вектор a.

Векторная проекция вектора a на прямую l изображается символом пр_l a.

Теорема 1. Векторная проекция пр_l a не зависит от направленного отрезка, которым изображается данный вектор a.

Доказательство. Пусть вектор a изображается направленным отрезком , проекция  на прямую l (см. рис. 21).Точки A¢ и B¢ можно получить, проведя через точки A и B плоскости перпендикулярные прямой l. От точки A¢ отложим вектор a: a =. Четырехугольник A¢ABK  - прямоугольник. Так как  A¢A ^ l, то BK ^ l и плоскость B¢BK ^ l. Тогда BK ^ l и точка B¢ - проекция точки K. Таким образом, направленные отрезки   и  имеют одну и туже проекцию.

Пусть вектор a изображается также направленным отрезком ,  проекция  на прямую l.От точки С¢ отложим вектор a: a =. Направленные отрезки   и  имеют одну и туже проекцию . Докажем, что =.

Так как треугольники A¢B¢K и C¢D¢L  равны, то A¢B¢ = C¢D¢. Так как лучи A¢ B¢ и C¢ D¢ сонаправлены, то =.

Теорема 2. Для любой прямой l, для любых векторов a, b и для любого числа l справедливы следующие свойства:

1)  пр_l (a + b) = пр_l a + пр_l b;

2)  пр_l (l a) = l пр_l a.

Доказательство. Возьмем точку O на прямой lи построим сумму векторов a, b: a + b ==  (см. рис. 22). Пусть A¢ и B¢ проекции точек A и B на прямую l. Тогда

пр_l (a + b) ==

= пр_l a + пр_l b.

Свойство 2 докажите самостоятельно ( рассмотрите три случая l =0, l > 0, l < 0).

4. Скалярная проекция вектора.

Определение 5. Пусть l числовая ось, e - орт числовой оси. Проекцией (скалярной проекцией) вектора a на ось l называется число равное координате вектора пр_l a в базисе e.

Проекция вектора a на ось l изображается символом пр_l a, или пр_e a . По определению проекции вектора имеем

пр_l a = пр_e a×e.                                                                             (1)

Проекцию вектора a на ось l можно задать произвольным вектором b, сонаправленным с вектором e. В этом случае ее также обозначают символом пр_b a и называют проекцией вектора a на вектор b. И по определению имеем пр_b a = пр_e a.

В силу однозначности разложения вектора по векторам базиса проекция по этой формуле определяется однозначно. Из этой же формулы следует, что

пр_l a = пр_e a =±|пр_l a|, где стоит знак "+", если пр_l a e , знак "-", если пр_l a ¯e.

Теорема 3. Для любых векторов a, b, c и для любого числа l справедливы следующие свойства:

1)  пр_c (a + b) = пр_c a + пр_c b;

2)  пр_c (l a) = l пр_c a,

3)  пр_c a  = |a| cos j, где j  = Ð( a, c).

Доказательство. В силу определения достаточно доказать теорему для того случая когда c - орт числовой оси l. По теореме 2 и формуле (1) получаем

пр_l(a + b) = пр_e (a + b) ×e,

пр_la + пр_lb = пр_ea×e + пр_eb×e = (пр_ea + пр_eb)×e.

В силу однозначности разложения вектора по векторам базиса получаем