Билинейные и квадратичные формы. Поверхности и кривые второго порядка (Задачи к практическим занятиям 16-17)

220400                                                  Алгебра и  геометрия                                  Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Практическое занятие 16. Билинейные и квадратичные формы

Изучаемые вопросы

Билинейная форма и ее свойства  Матрица билинейной форм относительно данного базиса. Разные способы записи билинейной формы. Изменение билинейной формы пр переходе от одного базиса к другому. Симметричная билинейная форма. Квадратичная форма и различные способы ее записи. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат.  Определение квадратичной формы канонического вида. Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Ранг квадратичной формы. Сигнатура квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Оператор, присоединенный квадратичной форме. Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу собственных значений. Положительно (отрицательно) определенные, положительные (отрицательно) полуопределенные, неопределенные квадратичные формы. Критерий Сильверста положительной определенности квадратичной формы.

Задачи для самостоятельного решения в аудитории и на дом

1.  Доказать, что если матрица билинейной формы симметрична в некотором базисе, то она симметрична в любом базисе.

2.  Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространстве E определяет билинейную форму E.

3.  Доказать, что ранг и знак определителя билинейной формы не меняется при переходе к другому базису.

4.  Билинейная форма g(x,y) в базисе e₁, e₂, e₃ имеет вид g(x,y) = -2x₁y₁ + 3x₁y₂ + x₁y₃ + 5x₂y₁ + x₂y₃ - x₃y₂ .  Найти выражение этой билинейной формы через координаты элементов в базисе f₁, f₂, f₃, если f₁ = e₂,  f₂ = - e₁, f₃=  e₂+ e₃.

5.  Задана билинейная форма g(x,y) в пространстве R³ в стандартном базисе e₁, e₂, e₃. Найти ее матрицу в базисе f₁, f₂, f₃. 1) g(x,y)=x₁y₁+2x₂y₂+3x₃y₃, f₁=(1,1,1),  f₂=(1,1,-1), f₃=(1,-1,-1); 2) g(x,y)=x₁y₂+x₂y₃+x₃y₁, f₁=(1,0,0),  f₂=(1,1,0), f₃=(1,1,1).

6.  Привести квадратичную форму f = 3x₂² + 3x₃² + 4x₁x₂ + 4x₁x₃ - 2x₂ x₃к каноническому виду методом Лагранжа и методом собственных преобразований.

7.  Привести данные квадратичные  формы к каноническому виду методом Лагранжа и записать преобразования переменных.

1)  f = 2x₁x₂ + 2x₃x₄; 2)   f = x₁² + 2x₂² + 2x₁x₂ + 4x₂x₃ - 5x₃²; 3)   f = x₁² + x₁x₂ + x₃x₄; 4)   f = x₁² + 5x₂² + 2x₁x₂ - 4x₁x₃ - 4x₃².

8.  Привести данные квадратичные  формы к каноническому виду ортогональными преобразованиями переменных и записать преобразования переменных.

1)  f = (1/3)(2x₁² - x₂² + 4x₁x₂ + 4x₂x₃ - 2x₁x₃ + 2x₃²); 2)   f = 11x₁² + 2x₂² + 4x₁x₂ - 16x₁x₃+ 20x₂x₃ + 5x₃²; 3) f = 2x₁x₂ + 2x₃x₄ ; 4)  f = 2x₁² + x₂²- 4x₁x₂ -4x₂x₃; 5)   f = x₁² + 2x₂² - 4x₁x₂ - 4x₂x₃ +3x₃².

9. Является ли данная квадратичная форма знакоопределенной.

1)  f = x₁²  - 4x₁x₂ + 2x₂x₃; 2)   f = 4x₁² + 2x₁x₂ - 2x₁x₃ - 2x₂x₃ + 2x₃²; 3)  f = 4x₁² + x₃²+2x₁x₂ -2x₁x₃ -2x₂x₃.

10. При каких значениях параметра a квадратичная форма знакоопределенная.

1)   f = x₁² +4x₂² + a4x₁²- 2x₁x₂- 2x₁x₃ + 2x₂x₃; 2)   f = -2x₁²-5x₁² - 6x₁x₂ + 6x₁x₃ + 10x₂x₃ + аx₃².

1.  Запишите для данной квадратичной формы соответствующую билинейную симметричную форму и найдите ее канонический вид.

1) f = 2x₁x₂ + 2x₃x₄; 2)   f = x₁² + 2x₂² + 2x₁x₂ + 4x₂x₃ - 5x₃²; f = (1/3)(2x₁² - x₂² + 4x₁x₂ + 4x₂x₃ - 2x₁x₃ + 2x₃²).

Задачи для контроля изученного материала

Ответы. 4. g(x,y) = -5x'₁ y'₂ + x'₁y'₃ - 3x'₂y'₁ - 2x'₂y'₂ - 4x'₂y'₃ - x'₃y'₁ - 5x'₃y'₂ . 5. 1) ; 2) .6. 1) f =(-4/3)y₁² +3y₂²+ 8y₃², y₁=x₁-2x₃, y₂=(2/3)x₁+x₂ -(1/3)x₃, y₃=x₃; f =-2y₁²+4y₂²+4y₃², .

7. 1) f = 2y₁² - 2y₂²+ 2y₃²- 2y₄², y₁=(1/2)(x₁+x₂), y₂=(1/2)(x₁-x₂), y₃=(1/2)(x₃+x₄), y₃=(1/2)(x₃-x₄); 2) f = y₁² + y₂²+ y₃², y₁=x₁+x₂, y₁=x₂+2 x₃, y₃=x₃; 3) f = y₁² - y₂²+ y₃²- y₄², y₁=(1/2)(2x₁+x₂), y₂=(1/2)x₂, y₃=(1/2)(x₃+x₄), y₃=(1/2)(x₃-x₄); 4) f = y₁² + y₂²- y₃², x₁=y₁-(1/2)y₂+(5/6) y₃, x₁=(1/2)y₂-(1/6) y₃, x₃=(1/6)y₃;. 8. 1) f =-2y₁²+4y₂²+4y₃², .. 2)  f =9y₁²+18y₂²-9y₃², ; 3) ) f =y₁²+y₂²-2y₃²-2y₄²,  ; 4)  f =4y₁²+y₂²-2y₃², ; 5)  f =2y₁²-1y₂²-5y₃², . 9. 1)  нет; 2) да; 3)  нет. 10. 1) а >1; 2) а <-5. 11. 1) x₁y₁+ x₂y₁+ x₃y₄+ x₄y₃, 2u₁v₁- 2u₂v₂+2u₃v₃; 2) x₁y₁+ x₁y₂ +x₂y₁+2x₂y₂+2x₂y₃+ 2x₃y₂+5x₃y₃, u₁v₁+ u₂v₂+ u₃v₃.

220400                                                  Алгебра и  геометрия                                  Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 2. Практическое занятие 17. Поверхности и кривые второго порядка

Изучаемые вопросы

Поверхности вращения. Цилиндрическая и коническая поверхности. Эллипсоиды. Двуполостной гиперболоид и его прямолинейные образующие.  Однополостной гиперболоид. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид и его прямолинейные образующие. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка. Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду. Классификация поверхностей.Подготовка к выполнению РГЗ.

Задачи для самостоятельного решения в аудитории