Общие вопросы теории оптимизации. Классификация задач математического программирования

         1.  Общие  вопросы  теории  оптимизации

         1. 1.  Основные понятия и общие положения

Определим  значение определения “оптимальный”. Оно построено на базе латинского слова optimus,  переводимого как наилучший[1].

Рассмотрим  определения термина “оптимизация”.

В [2] оптимизация определяется  как “процесс нахождения экстремума функции, т. е. выбор наилучшего варианта из множествавозможных”.

Близкое по смыслу определение приведено в [3],  где  оптимизация определяется как нахождение наибольшего или наименьшего значения какой–либо функции или выбор наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных.

Характерной особенностью обоих рассмотренных определений оптимизации является наличие в них двух частей: в первой части опре-деление дается на “математическом” языке,  во второй – на общелите-ратурном.

Рассмотрим сначала вторые части определений. Они отражают одну из важнейших особенностей поведения  людей. Действительно, часто цель, к которой стремится человек,  может быть достигнута различными путями (в другой формулировке, может быть несколько вариантов достижения цели). И человек обычно стремится выбрать лучший  из них.

Постоянная ограниченность всех ресурсов, которыми обладает человек (материальных, временных, денежных и др.), заставляет его быть природным “оптимизатором”, выбирающим наилучшее решение из нескольких возможных. (Вспомним в связи с этим пословицу: “рыба ищет, где глубже, а человек - где лучше”).

Очевидно, что выбор человеком неоптимального варианта ведет к тем или иным  “потерям”.

Выбор человеком наилучшего варианта может осуществляться двумя способами: неформализованно  и формализованно.

Неформализованный выбор осуществляется человеком интуитивно, исходя из здравого смысла и личного опыта (жизненного или профессионального). При этом в большинстве случаев человек не может объяснить, как  он сделал свой выбор.

В отличие от него, формализованный выбор осуществляется по четким, однозначным  рекомендациям. Такой выбор характеризуется тем, что разные люди в одинаковой ситуации осуществляют один и тот же  выбор (выберут один и тот же вариант).

Принятие формализованных решений - это наука,  которую можно (и нужно) изучать. Такая отрасль науки является частью математики, называемой математическими методами оптимизации. (Ряд авторов считает, что совокупность таких методов образует теорию оптимизации).

Формализованный выбор предусматривает учет всех существенных обстоятельств и цели выбора в форме так называемой задачи выбора или задачи оптимизации  и последующее решение этой задачи. Задача выбора первоначально формулируется на обычном языке, а затем формализуется, т.е. записывается на “математическом” языке, позволяющем дать количественное описание интересов и возможностей  человека, производящего выбор. 

Рассмотрим математические конструкции, использующиеся при формализации задачи оптимизации.

Прежде всего, для реализации формализованного выбора вводится понятие  критерий оптимизации или критерий оптимальности. Такое понятиеопределяется как некоторая количественная характеристика, отражающая понимание “наилучшего” у субъекта, осуществляющеговыбор.

(Отметим, что слово “критерий” производно от греческого слова kriterion ,  переводимого как  “мерило”, “оценка”).

Роль критерия при формализованном выборе чрезвычайно велика, поскольку он позволяет придать четкий и однозначный смысл понятиям “лучший” или  “наилучший”. (Образно говоря, введение критерия оптимальности позволяет перевести выбор наилучшего решения из плоскости “лучше - хуже” в плоскость “больше - меньше”).

Критерий выбирается человеком, принимающим решение. Критерий вводится таким образом, чтобы его значение позволяло оценить степень достижения  желаемого  результата. Для этого при введении критерия необходимо, во-первых, задать некоторую количественную характеристику, во-вторых, указать, большее или  меньшее ее значение следует считать наилучшим.

В связи с этим  критерий оптимальности обычно формулируется в виде двух групп слов, одна из которых отражает измеряемый качественный признак, а другая – требуемое “направление” выбора, например, минимум стоимости, минимум приведенных затрат, максимум прибыли, максимум производительности  и т.д.

Отметим, что одно и то же предпочтение при выборе оптимального объекта  может быть описано с использованием различных критериев оптимальности.

Пусть, например, необходимо ввести критерий, позволяющий выбирать вариант устройства, обладающего наибольшей надежностью. Если в качестве такого критерия принять вероятность безотказной работы устройства (на некотором интервале времени), то лучшим будет вариант, имеющий большее значение критерия. Если же в качестве критерия принять вероятность отказа, то лучшим будет вариант, имеющий меньшее значение критерия.

(Рекомендуем самостоятельно сформулировать критерии оптимального поведения (выбора) для рыбы и человека в рассмотренной выше пословице).