Для компактной записи постановок задач МП широко используется специальная математическая символика.
Как уже говорилось ранее, совокупность переменных x1, x2, …, xn обычно рассматривается как n-мерный вектор X = (x1,x2, …, xn).
Вводится также специальная символика для обозначения множества допустимых наборов значений переменных. Будем обозначать такое множество символом X, понимая под ним множество векторов, элементами которого являются векторы X, удовлетворяющие всем ограничениямзадачи МП.
В соответствии с принятыми в МП соглашениями элементы указанного множества X, будем называть допустимыми планами, а множествоX будем называть множеством допустимых планов.
Поскольку в МП ограничения задаются совокупностью уравнений и (или) неравенств, то множество допустимых планов можно трактовать как множество решений некоторой системы уравнений и (или) неравенств.
З а м е ч а н и е 1.6. В соответствии с принятой в МП терминологией множество допустимых планов часто называют множеством допустимых решений [5,18]. Такая терминология не согласуется с введенным нами ранее понятием “решение задачи оптимизации”.
Допустимый план, доставляющий наибольшее (наименьшее) значение целевой функции, называется оптимальным планом. Очевидно, что понятие математического программирования “оптимальный план” совпадает по смыслу с более общим понятием “точка экстремума”.
З а м е ч а н и е 1.7. Оптимальный план часто называют оптимальным решением задачи оптимизации (см. замечание 1.6).
Рассмотрим другие определения МП.
Математическое программирование чаще всего определяется как научная дисциплина, занимающаяся разработкой методов решения задач определенного вида. Такой вид задается с помощью различных формулировок, начинающихся обычно следующим образом: “найти значения переменных x1, x2, …, xn , доставляющих максимум (минимум) заданной функции
z = f ( x1 , x 2 , ... , x n)
при условиях (ограничениях) …”. Далее в различных формах описываются способы задания ограничений задачи [4, 8,16,39,40].
Продолжая обзор используемой математической символики отметим, что требование нахождения максимума или минимума ЦФ символически записывается в одном из следующих видов:
z = f (X) ® max или z = f (X) ® min .
Такая запись эквивалентна требованию нахождения значений переменных x1, x2, …, xn, , доставляющих максимум или минимум целевой функции.
С учетом введенных обозначений строится следующая общая символическая форма записи задачи МП:
z = f(X) ® extr
£
g j (x1 , x 2 , ... , xn ) = b j (1.3)
³
d i £ xi £ D i
i = 1,n ; j = 1,m .
Первая строка задачи (1.3) представляет собой целевую функцию задачи с указанием вида экстремума. При этом символ “ extr” (экстремум) является общим обозначения для символа минимума (min) или максимума (max) функции. Такие символы задают “направление оптимизации”.
Вторая группа строк задачи представляет собой ограничения задачи. Такие ограничения налагаются на зависимости между переменными оптимизации и представляют собой системы неравенств или уравнений. (При этом в задаче в общем случае возможны любые комбинации знаков).
Третья группа строк представляет собой ограничения, налагаемые непосредственно на значения переменных оптимизации xi. Такие требования в [4] называются граничными условиями. Кроме того, в этой группу могут входить требования к характеру множества значений переменных (например, требование целочисленности переменных).
Приведем также теоретико-множественную форму записи задачи МП. Она использует символику принадлежности допустимого решения X множеству допустимых решений: X Î X. На основе такого обозначения постановка задачиМП (для случая максимизации) принимает следующий компактный вид:
z = f(X) ® max . (1.4)
X Î X
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.