Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Метод Гаусса. Обратная матрица, после вычисления всех алгебраических дополнений

Страницы работы

Фрагмент текста работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Сибирский государственный индустриальный университет

Кафедра высшей математики

РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ

РАБОТ ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

1 семестр для студентов-заочников

___________________________________________________________

Издание СибГИУ                                                 Новокузнецк 1999

УДК 519.075

Даны примеры и рекомендации по выполнению контрольных работ 1-3 по высшей математике для студентов-заочников 1 курса по программе первого семестра.

Рецензент – кафедра физики Сибирского государственного инду-стриального университета ( зав. кафедрой профессор )

Печатается по решению редакционно-издательского совета  университета

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания предназначены в помощь студентам-заочникам 1-го курса при выполнении ими контрольных работ по математике за 1 семестр (контрольные работы №1, №2, №3). Номера задач из сборника заданий распределены следующим образом:

Вари-ант

Номера заданий для контрольных работ

№1

№2

№3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1    11    41    51

2    12    42    52

3    13    43    53

4    14    44    54

5    15    45    55

6    16    46    56

7    17    47    57

8    18    48    58

9    19    49    59

10   20   50    60

111  131

112  132

113  133

114  134

115  135

116  136

117  137

118  138

119  139

120  140

141  151

142  152

143  153

144  154

145  155

146  156

147  157

148  158

149  159

150  160

В конце данных указаний даны теоретические вопросы экзаменационных билетов за 1 семестр.

Контрольная работа 1

Тема: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Задание 1. Даны векторы   в некотором базисе. Показать, что векторы  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.

Указания к решению. Векторы  будут образовывать базис, если определитель, составленный из координат этих векторов будет отличен от нуля

                                                    (1)

В этом случае любой вектор  можно представить в виде  где числа  являющиеся координатами вектора  в базисе векторов  найдутся из системы уравнений

                                                                       (2)

Пример.

Решение. Проверяем условие (1)

 

Таким образом векторы  образуют базис. Найдем теперь координаты вектора  в этом базисе. Запишем систему (2)

Решим эту систему по формулам Крамера

Отсюда

Ответ:

Задание 2  Даны координаты вершин пирамиды А12,А34. Найти : 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;  4)площадь грани А1А2А3; 5)объем пирамиды;  6) уравнение прямой А1А2;  7) уравнение плоскости А1А2А3;  8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.

Указания к решению. Пусть дано    тогда

Длина вектора  найдется по формуле

                           (3)

Угол между ребрами А1А2 и А1А4 находится с помощью скалярного произведения

                                                    (4)

Вектор, перпендикулярный грани А1А2А3, определится через произведение векторов (5)

Угол  между ребром А1А4 и гранью А1А2А3  определится из формулы

                                                                                                                         (6)

Площадь грани А1А2 А3:                                                 (7)

Объем пирамиды А1А2:                  (8)

Уравнение прямой А1А2:                  (9)

Уравнение плоскости А1А2А3:

     (10)

-координаты вектора    из (5)

Уравнение высоты из вершины А4 на грань А1А2А3:

                                                      (11)

Пример.  Дано  А1(2;0;4), А2(-1;3;2), А3(5;6;-2), А4(3;-1;1).  Решить задание 2.

Решение.

1)   Тогда из (3)

2) по формуле (4)

, поэтому .

3) из (5)и (6) находим

Отсюда .

4)Площадь грани А1А2А3 определяем по (7) с учетом пункта 3) из этого задания

5)Объем пирамиды А1А2А3А4 находим по формуле (8)

6)Уравнение прямой А1А2   (9)

7)Уравнение плоскости А1А2А3 определяем по (10)

 

или, раскрывая скобки, : 

8)Уравнение высоты из вершины А4 на грань А1А2А3

      Задание 3. Линия задана уравнением  в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от j=0 до j=2p,  придавая  j  значения через промежуток ;

2) Найти уравнение этой линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной полуосью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

 Указания к решению. Полярная система координат состоит из фиксированной точки – начала системы координат и луча, исходящего из этой точки – полярной оси. Если r>0, то точку М, имеющую полярные координаты (r, j), следует откладывать вдоль луча, образующего угол j с полярной осью на расстоянии r  от начала координат, , а если r<0, то точку М(r, j) следует откладывать на продолжении луча в противоположную сторону относительно начала координат.

Для перехода от задания линии в полярной системе координат к заданию этой линии в декартовой системе, необходимо воспользоваться следующими формулами перехода:

 (12)

Пример.   

Составим таблицу для значений r

Проведем построение линии по данным таблицы

 


Найдем теперь уравнение данной линии в декартовой системе координат. Перепишем сначала его в виде

Последнее уравнение с учетом формул перехода от декартовой системы координат к полярной примет вид

Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы с центром в точке    и полуосями 

Задание 4.  Дана система линейных уравнений

                           (13)

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Указания к решению. Система имеет единственное решение, если определитель, составленный из коэффициентов системы, отличен от нуля

1). Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из уравнений с помощью сложения и вычитания уравнений, входящих в систему. При этом обычно пользуются только матрицей при неизвестных и столбцом свободных членов в виде

                                     (14)

Первый шаг состоит в приведении коэффициента при  в первом уравнении к 1. Для этого первую строку в (14) необходимо разделить на   :

                                  (15)

Второй шаг состоит в приведении коэффициентов при  во втором и третьем уравнениях к нулю. Для этого первую строку в (15) умножаем на (- и прибавляем ко второй

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
438 Kb
Скачали:
0