Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Метод Гаусса. Обратная матрица, после вычисления всех алгебраических дополнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Сибирский государственный индустриальный университет

Кафедра высшей математики

РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ

РАБОТ ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

1 семестр для студентов-заочников

___________________________________________________________

Издание СибГИУ                                                 Новокузнецк 1999

УДК 519.075

Даны примеры и рекомендации по выполнению контрольных работ 1-3 по высшей математике для студентов-заочников 1 курса по программе первого семестра.

Рецензент – кафедра физики Сибирского государственного инду-стриального университета ( зав. кафедрой профессор )

Печатается по решению редакционно-издательского совета  университета

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания предназначены в помощь студентам-заочникам 1-го курса при выполнении ими контрольных работ по математике за 1 семестр (контрольные работы №1, №2, №3). Номера задач из сборника заданий распределены следующим образом:

В конце данных указаний даны теоретические вопросы экзаменационных билетов за 1 семестр.

Контрольная работа 1

Тема: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Задание 1. Даны векторы   в некотором базисе. Показать, что векторы  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.

Указания к решению. Векторы  будут образовывать базис, если определитель, составленный из координат этих векторов будет отличен от нуля

                                                    (1)

В этом случае любой вектор  можно представить в виде  где числа  являющиеся координатами вектора  в базисе векторов  найдутся из системы уравнений

                                                                       (2)

Пример.

Решение. Проверяем условие (1)

Таким образом векторы  образуют базис. Найдем теперь координаты вектора  в этом базисе. Запишем систему (2)

Решим эту систему по формулам Крамера

Отсюда

Ответ:

Задание 2  Даны координаты вершин пирамиды А₁,А_2,А₃,А₄. Найти : 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;  4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды;  6) уравнение прямой А₁А₂;  7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;  8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Указания к решению. Пусть дано    тогда

Длина вектора  найдется по формуле

                           (3)

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ находится с помощью скалярного произведения

                                                    (4)

Вектор, перпендикулярный грани А₁А₂А₃, определится через произведение векторов (5)

Угол  между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃  определится из формулы

                                                                                                                         (6)

Площадь грани А₁А₂ А₃:                                                 (7)

Объем пирамиды А₁А₂:                  (8)

Уравнение прямой А₁А₂:                  (9)

Уравнение плоскости А₁А₂А₃:

     (10)

-координаты вектора    из (5)

Уравнение высоты из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃:

                                                      (11)

Пример.  Дано  А₁(2;0;4), А₂(-1;3;2), А₃(5;6;-2), А₄(3;-1;1).  Решить задание 2.

Решение.

1)   Тогда из (3)

2) по формуле (4)

, поэтому .

3) из (5)и (6) находим

Отсюда .

4)Площадь грани А₁А₂А₃ определяем по (7) с учетом пункта 3) из этого задания

5)Объем пирамиды А₁А₂А₃А₄ находим по формуле (8)

6)Уравнение прямой А₁А₂   (9)

7)Уравнение плоскости А₁А₂А₃ определяем по (10)

или, раскрывая скобки, : 

8)Уравнение высоты из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃

      Задание 3. Линия задана уравнением  в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от j=0 до j=2p,  придавая  j  значения через промежуток ;

2) Найти уравнение этой линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной полуосью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

 Указания к решению. Полярная система координат состоит из фиксированной точки – начала системы координат и луча, исходящего из этой точки – полярной оси. Если r>0, то точку М, имеющую полярные координаты (r, j), следует откладывать вдоль луча, образующего угол j с полярной осью на расстоянии r  от начала координат, , а если r<0, то точку М(r, j) следует откладывать на продолжении луча в противоположную сторону относительно начала координат.

Для перехода от задания линии в полярной системе координат к заданию этой линии в декартовой системе, необходимо воспользоваться следующими формулами перехода:

 (12)

Пример.   

Составим таблицу для значений r

Проведем построение линии по данным таблицы

Найдем теперь уравнение данной линии в декартовой системе координат. Перепишем сначала его в виде

Последнее уравнение с учетом формул перехода от декартовой системы координат к полярной примет вид

Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы с центром в точке    и полуосями 

Задание 4.  Дана система линейных уравнений

                           (13)

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Указания к решению. Система имеет единственное решение, если определитель, составленный из коэффициентов системы, отличен от нуля

1). Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из уравнений с помощью сложения и вычитания уравнений, входящих в систему. При этом обычно пользуются только матрицей при неизвестных и столбцом свободных членов в виде

                                     (14)

Первый шаг состоит в приведении коэффициента при  в первом уравнении к 1. Для этого первую строку в (14) необходимо разделить на   :

                                  (15)

Второй шаг состоит в приведении коэффициентов при  во втором и третьем уравнениях к нулю. Для этого первую строку в (15) умножаем на (- и прибавляем ко второй