Основы математического аппарата и математические модели линейных ДСАУ. Решетчатые функции, страница 6

c_my_0к[0, 0]=d_ke^*[0, 0]                                                                        (18.1)⁰

Поскольку функция  гладкая, то,переходя во второй интервал квантования, примем y_0к[0, 0]=y_1н[1, 0] и разрешим уравнение замыкания (19.1) в таком виде:

e^*[1, 0]= g[1, 0] – y_1н[1, 0]=1– y_0к[0, 0] = const.                                        (19.1.)¹

Теперь при n=1 уравнение (18.1.) примет такой вид:

c_my[1, 0]+c_m–1y[0, 0] = d_ke*[1, 0]+d_k–1e^*[0, 0],(18.1)¹

где y[1, 0] искомая величина y_1к[1, 0] = y_2н[2, 0] и y[0, 0] = y_0к[0, 0].

Далее, процедура решения задачи на последующих интервалах повторяется, причем реальный интервал времени Δ t=Т (интервал квантования ИИЭ) const.

Таким образом, число слагаемых в (18.1.) с каждым шагом возрастает на единицу, достигая в правой части уравнения числа "k,"а в левой части числа "m".Далее, число слагаемых, теоретически, остается постоянным до конца расчета решётчатой переходной функции дискретной модели системы  y[n,0]=h[n,0]. Практически же, высшие разности со своими коэфициентами (как высшие производные) могут стремительно уменьшить значения "своих"слагаемых.

Действуя таким итеративным образом, сможем вычислять все последующие значения выходного сигнала и построить несмещенную решётчатую переходную функцию  модели системы y[n, 0]=h[n, 0] .Аналогично строится и смещённая решётчатая переходная функция y[n, ε]=h[n, ε]. Поэтому выражения вида (14.1.), (15.1), (18.1) разрешимые совместно с (19.1), называют часто рекуррентными соотношениями, т.е. такими в которых можно вычислить каждый последующий член  при заданных начальных.

Если формулы вида (14.1.), (15.1), (18.1) записать для моделей разомкнутых ДСАУ, то в их правых частях будет представлена только аналитически заданная РФ g[n, 0]. При заданных начальных условиях каждое из этих выражений будет представлять собою независимое рекуррентное соотношение⁷.⁾

В заключение лекции отметим отсутствие рекуррентности в уравнении замыкания непрерывных (аналоговых) САУ: e(t)= g(t)-y(t). Оно не разрешимо, поскольку в него входит только одна аналитически задаваемая величина g(t) и нельзя задать y(t). Правда, в системах программного управления решением обратной задачи динамики при заданной структуре разомкнутой САУ по заданной зависимости y(t) вычисляется g(t). Но это уже другая тема и другие условия.

______________________________________________________________________

⁷⁾Примечание 7. Эта процедуа решения разностных уравнений, соответствует способу численного интегрирования дифференциальных уравнений, который изучался вами в курсе "Вычислительная математика".Здесь же мы рассматриваем разностные уравнения как математическую модель линейной дискретной (импульсной ) САУ и используем те же или другие математическием приемы её исследования.

Конечно, разностные уравнения вида (14.1) или (15.1) можно разрешать по той же методите как и диффереренциальные уравнения. Например, если второе из них записать как однородное в форме (18.1), приравняв правую часть нулю, и найти корни z₁    z_m характеристического уравнения такого вида:

c_mz^m+c_m–1z^m-1+...+c₀z⁰=0(18.1,а)

Далее, аналогично, рассчитывается свободная составляющая движения по разностному уравнению:

,                                                    (20.1.)

где A_i постоянные "интегрирования" п - интервалы квантования процесса:

0, 1, 2, 3,        и т.д.

Ясно, что для затухающего, т.е. устойчивого движения необходимо иметь все корни характеристического уравнения (по модулю) <1.

Уважаемые слушатели! Учтите, что в этом параграфе мы только показали алгоритмы решения разнообразных задач с помощью аппарата разностных уравнений. Но пользоваться ими не будем, поскольку современная теория ДСАУ располагает более простыми приемами и эффективными средствами решения подобных задач. Это составляет предмет курса.

Скорректировано: 08. 02. 2009.