Чем замечательны такие уравнения? Тем, что в отличие от дифференциальных уравнений, мы можем найти решение непосредственно через значения исходной управляющей функции g(t), что покажем позднее. А сейчас решим "Пример 2" перехода от формы (15.1.) к (18.1.) и убедимся, что это трудоемкая задача.
________________________________________________________________
5)Примечание5 Доказательства достоверности формул
(12.1.), (16.1) и (17.1.) просты, но связаны с огромными рутинными выкладками и
расчетами. Например, (12.1)
получим, если решим пример 4 для
f[n,0]. Справедливость (14.1) подтвердим,
вычислив каждый из коэффициентов {аi} и {bj}
в уравнении (15.1) и просуммировав слагаемые с равными значениями решётчатых
функций y[n–i] и
e[n–j]. Эти формулы приведены в
нескольких источниках, например,[9]. Тем
более они не столь - уж важны в нашем курсе.
Пример 2. Задано неоднородное разностное уравнение в такой форме:
.
(*)
Чтобы записать данное уравнение в форме (18.1.) рассчитаем его коэффициенты при m=3, k=2 по формулам (17.1.)
При i=0 и ν=0: c3=a3(-1)0C30=a3=3.
При i=1, ν=0 и ν=1: c2=a3(-1)1C31+a2(-1)0C20=-3a3+a2=-9+4=-5.
При i=2, ν=0 , ν=1 и ν=2: c1= a3(-1)2C32+a2(-1)1C21+ a1(-1)0C10=3a3 -2a2 +a1=9-8+5=6.
При i=3, ν=0 , ν=1, ν=2 и ν=3: c0= a3(-1)3C33+a2(-1)2C22+ a1(-1)1C11+a0(-1)0C00=-a3 +a2 -a1+a0=
-3+4 -5 +1=-3.
Соответственно, коэффициенты правой части уравнения будут следующими.
При j=0 и ν=0: d2=b2(-1)0C20=b2=3.
При j=1, ν=0 и ν=1: d1=b2(-1)1C21+b1(-1)0C10=-2b2+b1=-6+1=-5.
При j=2, ν=0 , ν=1 и ν=2: d0= b2(-1)2C22+b1(-1)1C11+ b0(-1)0C00=b2 -b1 +b0=3-1+1=3.
Итак, вместо исходного выражения (*), получим:
(**)
Чтобы раскрыть все значения коэффициентов{сi} и {dj}в выражении (**) пришлось вычислить шестнадцать(!!!) сочетаний типа Сm-ν i-ν и выполнить иные арифметические процедуры. А ведь это было уравнение всего - то третьего порядка! Возможно, для решения задачи использовать пакет "Matcad",но вряд - ли это упростит и ускорит процесс.
Теперь перейдем к описанию процедуры решения уравнения
(18.1.). Пусть ДСАУ, модель, которой изображена на рис. 2.1., находилась в
покое, и в ней не было запасено энергии. Сигнал на выходе замкнутой ДСАУ 
. Тогда дискретную
выборку (решётчатую функцию) y[n,0]
можно, бесспорно, представить в виде y[0, 0]=y[-1, 0]=y[-2, 0]= =y[-(m-1), 0]=0,а сигналуправления e [-1,0]=e [-2, 0]=
=e [-(k-1), 0]=0. Это
будут исходные нулевые начальные условия (ННУ) решения
задачи.
На вход системы можно подать любой аналитически
заданный сигнал: 
. Для
упрощения дальнейших рассуждений ограничимся регулярным единичным сигналом: . Тогда в момент времени t=0,
соответственно n=0, и g[0, 0]=1.
Запишем разностное уравнение замыкания системы в обобщенном виде для любого "n" интервала квантования6).
e[n, 0]=g[n, 0]–y[n, 0], (19.1.)
Следовательно, на первом интервале квантования (от момента времени t 0 =0Т до t 1=1Т) выражение (19.1.) будет иметь такое решение:
e*[0, 0]= g[0, 0]– g[0, 0]–y0н[0, 0]=1–0=1 = const. (19.1.)0
________________________________________________________________
6)Примечание 6. К этим выражениям необходимо дать
разъяснения. Уравнение (19.1.) записано для РФ. Но, в силу разных
физических причин, которые будут поясняться постепенно уравнение(19.1)0 имеет
другой смысл. Прежде всего, 
физически - непрерывный
сигнал,
а y[n, 0] его фиктивная
дискретная выборка. Поэтому y0н[0, 0] начальное значение
непрерывного сигнала 
на первом интервале
квантования. Сигнал
задания g[0, 0]= 1[0, 0] - решётчатая функция. Сигнал
ошибки e*[0, 0] непрерывная функция на первом интервале равная РФ
g[0, 0]= 1[0, 0]. Особенности формирования
функции e*[n,
0] ,будут пояснены в последующих
лекциях.
Итак, полученное значение e*[0, 0]= g[0, 0]= 1[0, 0] подставим в уравнение (18. 1.), и рассчитаем y0к[0, 0], в качестве конечного значения выходного сигнала на первом интервале квантования. В силу ННУ уравнение (18.1.) будет таким:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.