Проверка гипотез при полиномиальной аппроксимации. Критерий Кочрена проверки гипотезы о равенстве дисперсий

противном случае, если , делается противоположный вывод, и для аппроксимации применяется ОМНК (пп. 2.3.7.2, 2.3.7.6).

2.5.6.2. Проверка гипотезы о степени аппроксимирующего полинома,

характеристики погрешностей измерений известны.

a) Измерения однократные.

Постановка задачи полиномиальной аппроксимации некоторой исследуемой функции y = f(x) и метод ее решения изложены в в пп. 2.3.7.1, 2.3.7.2. В соответствии с материалами этих пунктов исходными данными для полиномиальной аппроксимации функции y = f(x) являются ее значения в k дискретных точках, возмущенные погрешностями. Эти значения были объединены в вектор  . С другой стороны, вектор точных значений аппроксимируемой функции выражался, как , где  - вектор точных значений коэффициентов искомого полинома. Степень искомого полинома q полагалась известной, а погрешности - распределенными нормально: . Тогда вектор отсчетов также распределен нормально: , то есть . Эта ситуация именовалась, как случай известной модели.

В п. 2.3.7.2 были получены ММП - оценки  коэффициентов путем минимизации квадратичных форм

-  - в случае равноточных измерений и применения МНК,

-  - в случае неравноточных измерений и применения ОМНК.

Из-за случайности погрешностей измерений оценки  также случайны, а значит, случайными являются векторы  и вслед за ними - квадратичные формы, которые определены в п. 2.3.7.2:

-  - в случае применения МНК

-  - в случае применения ОМНК.

Поскольку найденные оценки коэффициентов несмещены,

.

В п. 2.3.7.3 приведены плотности распределения этих квадратичных форм в условиях, когда плотности распределения погрешностей нормальны и модель известна. Плотности распределения обеих квадратичных форм одинаковы: это плотность распределения “хи - квадрат” с (k - q - 1) степенями свободы, то есть

.

На практике модель практически никогда не бывает известной. Тогда, при ошибочном назначении степени p аппроксимирующего полинома, меньшей, чем истинная степень q, оценки коэффициентов оказываются смещенными (см. также п. 2.3.7.4, замечание 4), поэтому , значения  существенно возрастают, и плотность распределения изменяется. При увеличении степени аппроксимирующего полинома и, в особенности, при p > q ухудшается обусловленность матриц  и ,  и  теряется вычислительная устойчивость МНК и ОМНК (см. п. 2.3.7.7). Поэтому случаи, когда p > q , не рассматриваются.

Итак, пусть в изложенных условиях при истинной степени аппроксимирующего полинома  q  была назначена степень p < q, и с помощью МНК или ОМНК получены оценки  p + 1 коэффициента. Обозначим вектор найденных таким образом оценок через , а квадратичные формы, вычисленные при этих значениях оценок - через .

Сформулируем гипотезу.

  степень аппроксимирующего полинома   p = q,

  степень аппроксимирующего полинома   p < q.

Статистикой критерия проверки этой гипотезы является величина , которая при p = q, то есть при справедливости нулевой гипотезы равна  и распределена, как  (см. п. 2.3.7.3). Поэтому в качестве критического значения при заданной вероятности a выбирается (1 - a)×100 - процентная квантиль из таблицы квантилей распределения “хи - квадрат”   с (k - q - 1) степенями свободы.

Процедура проверки гипотезы в условиях, когда заданы вид полинома (степенной, обобщенный по п. 2.3.7.9) и вероятность a.

1. Оцениваются коэффициенты полинома

         или              .

2. Вычисляется статистика критерия

или  .

3. Значение статистики  сравнивается с критическим значением:

- если , делается вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу,

- в противном случае, если , делается вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой.

b) Измерения многократные.

Этот случай отличается от предыдущего тем, что в качестве исходных данных для полиномиальной аппроксимации используется не вектор результатов однократных измерений , а вектор средних арифметических значений  результатов многократных измерений. В условиях, перечисленных выше в п. a), вектор средних арифметических обладает свойствами (см. также пп. 2.3.4.3, 2.3.7.5) :

,           ,          .

В случае равноточных измерений, когда применяется МНК,

                 , где E - единичная матрица (см. также п. 2.3.7.2) .

Тогда,  если для аппроксимации назначена степень полинома p, и  - вектор оценок  (p + 1) коэффициента этого полинома, то статистикой критерия проверки гипотезы о степени полинома будет

.

В случае, когда измерения равноточные и применяется МНК,

.

Как и ранее,  при  условии справедливости нулевой гипотезы, то есть при p = q   и . Критическое значение при заданном значении вероятности a есть .

Гипотеза формулируется по аналогии с формулировкой, приведенной в предыдущем п. a).

  степень аппроксимирующего полинома   p = q,

  степень аппроксимирующего полинома   p < q.

Процедура проверки гипотезы в условиях, когда заданы вид полинома (степенной, обобщенный по п. 2.3.7.9) и вероятность a.

1. Оцениваются коэффициенты полинома

         или              .

2. Вычисляется статистика критерия

    или          .

3. Значение статистики  сравнивается с критическим значением:

- если , делается вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу,

- в противном случае, если , делается вывод о том, что нет достаточных