Динамический синтез с использованием запретных зон. Определение параметров среднечастотной зоны желаемой ЛАХ, страница 3

 .

Тогда окончательно   ,   .

Обычно система настраивается таким образом, чтобы ее качество было не хуже заданного. Применительно к нашему случаю должно выполняться неравенство . Здесь М_доп - расчетное значение показателя колебательности (используемое для определения постоянных Т₂ и Т₃). С учетом данного требования получаем:

, , или , .

Дополнительно можно отметить тот факт, что

,   , а  w₂  и  w₃ - граничные точки запретной зоны по фазе (смотри рисунок в начале пункта).

ЛАХ типа 1-2 (с наклонами -1, -2)

Передаточная функция системы имеет вид:  .

 

Частота среза w_ср  введена условно.

Частотные характеристики разомкнутой и замкнутой систем соответственно равны: ,  (при W_ос(s)= 1).

Показатель колебательности , где

Для нахождения  А_м  необходимо получить уравнение , откуда последовательно найдем  :

.

.

, ,  .

Подставим  в    .

Окончательно получаем    .

Если в выражении для М ввести обозначение , тогда из уравнения  после преобразований:   

,  будем иметь , и искомое неравенство , позволяющее определить Т₁ из условия требуемого показателя колебательности системы М.

Ниже изображены частотные характеристики разомкнутой системы.

Расчет среднечастотной области ЛАХ системы

на базе типовой ЛАХ 2-1-2

(Предварительно перед изучением каждого пункта

следует повторить  материал на стр. 42-45)

1.  Система 2-1-2-3-4-5-... (учет малых инерционностей)

Передаточная функция такой системы:

,   при этом , i = 4, 5, …

Частотные характеристики системы изображены ниже на рисунке. Данная система при определенном соотношении параметров может быть, в отличие от системы 2-1-2, неустойчивой. Границы запретной зоны в области средних частот (точки перегиба ЛАХ) определяются как:        (аналогично системе 2-1-2);

вместо неравенства для определения постоянной времени Т₃ используют неравенство вида  ,  взаимно увязывающее постоянные времени Т₃, Т₄, Т₅, … Как следует из рисунка,  ω₃ находится правее границы запретной зоны по фазе. Сдвиг ω₃ вправо является компенсационной мерой более интенсивного роста фазовой характеристики вследствие наличия постоянных Т₄, Т₅, …

Такой подход к определению параметров среднечастотной области не идеален. Погрешность результата в некоторых случаях может достигать до 10%. Но получение симметричной ЛАХ (типа 2-1-2) в области средних частот считается значительным достижением.

2. Учет нестабильности параметров в системе 2-1-2

Показатель качества системы  (показатель колебательности).

Определим функции чувствительности  .                                    Ранее получили    .

Тогда ,          ,

.

В результате отклонение показателя колебательности М от расчетного значения  при изменении параметров системы будет равно:

 - при детерминированном уходе, и

 - при случайном уходе,  где  - относительное изменение (уход) постоянной времени.

Упростим полученные выражения.

Нам известно, что  , тогда  .

Отсюда      где

Далее, после соответствующих преобразований, с учетом   (или граничный случай ):

,

,

, получаем:  , или (оставляем правильный знак)   - расчетное значение показателя колебательности М, используемого при определении параметров среднечастотной области ЛАХ с учетом их (параметров) возможной вариации.

3. Учет нестабильности параметров в системе 2-1-2-3-4-…

Методика уточнения расчетного показателя колебательности М с учетом возможных отклонений параметров системы аналогична рассмотренному ранее случаю.

Результаты не должны отличаться от полученных в предыдущем пункте, приведенных к выражению

,  .

При этом должен быть учтен важный момент: при совместном изменении постоянных Т₃, Т₄, Т₅, …, их сумма в любом случае должна удовлетворять неравенству:

.

4. Система 1-2-1-2  (Система с астатизмом первого  порядка)

Ее передаточная функция имеет вид:      .

В большинстве случаев , и при этом соотношении низкочастотная зона удалена от среднечастотной области. Следовательно, при частотах средней области, можно принять:

.