Динамический синтез с использованием запретных зон. Определение параметров среднечастотной зоны желаемой ЛАХ, страница 2

Вывод: Для того чтобы система обладала заданными динамическими свойствами, однозначно определяемые показателем колебательности М, необходимо, чтобы фазовая характеристика синтезируемой системы не входила в запретную зону, а лишь касалась ее в одной из точек (смотри рисунок). Ширина запретной зоны определяется диапазоном частот, при которых ЛАХ системы находится в пределах .

На плоскости частотной характеристики разомкнутой системы рассмотрим точку на границе запретной зоны с максимальным  .

Из теоремы Пифагора следует:

.

При   ,  и   

.

Типовые ЛАХ, используемые в среднечастотной области

Методика определения параметров разомкнутой системы в среднечастотной области определяется типом (видом) ЛАХ в этом диапазоне частот. Рассмотрим наиболее важные случаи, к которым в дальнейшем будут сведены другие логарифмические характеристики.

ЛАХ типа 2-1 (с наклонами -2, -1)

Передаточная функция разомкнутой системы, у которой ЛАХ имеет указанные наклоны, определяется выражением   .

К_а - добротность системы по ускорению.    (проверяется легко).

Считаем, что добротность по ускорению К_а известна из условия точности, следовательно, запас устойчивости (и требуемые динамические свойства) определяется только постоянной Т₂.

Для определения Т₂ по передаточной функции замкнутой системы  получим частотные характеристики:

  - АФЧХ,    - ВЧХ.

Показатель колебательности .  Для его нахождения выполняется дифференцирование . Далее, решая уравнение  относительно  w,  находим  w_m, которая после подстановки в  позволит получить выражение, связывающее М и Т₂ . Схематично данная последовательность действий изображается в виде: .

В результате получаем неравенство , позволяющее определить точку излома ЛАХ (частоту излома 1/Т₂). Все промежуточные вычисления ввиду их сложности опущены. Если учесть, что  ,  то неравенство, определяющее Т₂, преобразуется к виду  .  (Рекомендуется данный переход выполнить самостоятельно).

При определении Т₂ обошлись без построения запретной зоны для фазовой характеристики. Но можно с уверенностью сказать, данная характеристика рассматриваемой системы не зайдет в эту зону, однозначно определяемую показателем колебательности М, и, значит, в синтезируемой системе будут реализованы требуемые качества переходного процесса.

  = .

Рассмотренный случай системы с типовой ЛАХ типа 2-1 встречается редко. Такие системы применяются в качестве интегрирующих в маломощных приводах.

ЛАХ типа 2-1-2 (с наклонами -2, -1, -2)

Передаточная функция разомкнутой системы с данной типовой ЛАХ имеет вид:    ,    причем   .

 

Запас по фазе  .

Нам известно, что   .

Тогда для определения максимального запаса по фазе вычислим

 и, с целью отыскания экстремума,  из уравнения , преобразуемого к виду ,     получаем        и   .

Далее, после подстановки значения  в выражение для m, с учетом того, что  , вычислим искомое

.

Введем понятие «протяженность линии единичного наклона» .

Тогда .

Необходимый запас устойчивости  системы по фазе , а значит и параметры ЛАХ, будем  определять из условия, что АФЧХ разомкнутой системы коснется запретного круга, соответствующего требуемому показателю колебательности М,  что соответствует уравнению , где  - максимальное значение угла в запретной зоне по фазе, было определено ранее.

Тогда из уравнения   получаем        Откуда     

,   и окончательно -   .

Вывод: Показатель колебательности М однозначно связан с протяженностью зоны единичного наклона ЛАХ h.  Увеличение протяженности зоны единичного наклона ЛАХ ведет к снижению колебательности.  И наоборот.

     (рекомендуется проверить).

Определим основные параметры этой зоны.

        ;    .

Установим  взаимосвязь w_ср  с  w_м.

Ранее было получено

.

  при  ,

   при  .

Так как наклон L(w) =  - 1, то должно выполняться

 и , откуда .

Тогда .

И, окончательно, .

Кроме того  ,   значит   .

Осталось связать параметры среднечастотной зоны ЛАХ с w₀.

;  .

При w = w₂     L₁(w₂)=L₂(w₂).