Формула Тейлора. Отделение кратных множителей. Построение кольца многочленов от нескольких переменных

Пусть многочлен f(x) задается формулой (27). Тогда  , что и требовалось доказать.

Свойство 2. Производная суммы нескольких многочленов равна сумме их производных.

Достаточно доказать это свойство для суммы двух многочленов. Пусть  , . Тогда  , где , и     . (Как обычно, считается, что  при  и  при .)

Свойство 3. Для производной произведения двух многочленов справедлива формула .

Многочлен  равен сумме всевозможных произведений uv, где u - член многочлена f(x), v -  член многочлена g(x). Запишем это следующим образом: . Согласно свойству 2 имеем: . В то же время  и . Поэтому достаточно проверить, что  для любых u, v, т.е. доказать свойство 3 для одночленов. При этом свойство 1 позволяет свести проверку к случаю одночленов с коэффициентами, равными единице. В этом случае проверка производится следующим образом: .

Как и в математическом анализе, из свойства 3 выводится следующая формула дифференцирования произведения любого числа множителей:

 .                                                  (29)

Частным случаем этой формулы является формула дифференцирования степени:

.                                            (30)

Таким образом, определенная нами операция дифференцирования многочленов обладает некоторыми свойствами дифференцирования функций действительной переменной[1].

Производная от производной многочлена  называется его второй производной и обозначается через . Производная от второй производной называется третьей производной и т.д. Для n-й производной используется обозначение . Так как при каждом дифференцировании степень многочлена понижается, то (n+1)-я производная любого многочлена степени n равна нулю.

6.2. Формула Тейлора.

Схема Горнера (см. п.2) удобна при разложении данного многочлена  по степеням двучлена . Пусть

                                    (31)

где  и . Если последнее выражение в (31) для  подставить в предыдущее равенство, а затем то, что при этом получится, подставить вместо  и т.д., то придем к равенству

           (32)

Это есть разложение данного полинома f по степеням (x - c). Пусть K - поле P. Дифференцируя обе части равенства (32) и полагая , получим , , , ..., . Поэтому равенство (32) можно записать в виде

, если только f - полином над полем нулевой характеристики. Это и есть формула Тейлора для полиномов. Все вычисления удобно расположить в одну таблицу:

Пример 18. Разложим полином  по степеням . Для этого построим таблицу

Отсюда  

.

Упражнение 15. Разложить по степеням :  1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , ; 6) , ; 7) , ; 8) , ; 9) , ; 10) , ; 11) , ; 12) , ; 13) , ; 14) , .

Задача 6. Пусть f(x) – многочлен n-й степени над R,  и , , …, , . Докажите, что действительные корни многочлена f(x) не превосходят a.

6.3. Отделение кратных множителей.

Как и во всяком кольце главных идеалов, в кольце  многочленов над полем P каждый необратимый элемент может быть разложен на простые множители, причем это разложение единственно с точностью до перестановки множителей и замены их ассоциированными элементами.

Напомним, что ненулевой элемент области целостности называется простым, если он необратим и не может быть разложен в произведение двух необратимых элементов. Простые элементы кольца  по традиции называются неприводимыми многочленами. Поскольку необратимые элементы кольца , отличные от нуля, - это многочлены положительной степени, то неприводимый многочлен - это такой многочлен положительной степени, который не может быть разложен в произведение двух многочленов положительной степени. (Многочлен, который может быть разложен в произведение двух многочленов положительной степени, называется приводимым). Можно также сказать, что неприводимый многочлен - это такой многочлен положительной степени, который не может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени. В самом деле, если в разложении  оба множителя g и h имеют положительную степень, то каждый из них имеет степень, меньшую, чем степень f, и обратно.

Учитывая это определение и то, что ассоциированные многочлены отличаются только ненулевым множителем (обратимый элемент поля P), переформулируем теорему 21.

Теорема 28. Всякий многочлен , не являющийся элементом поля P, может быть разложен в произведение неприводимых многочленов:

                                                        (33)

причем если  - другое такое разложение, то  и при подходящей нумерации множителей имеют место равенства , , где , .

Если вынести за скобки старшие коэффициенты всех неприводимых множителей какого-либо разложения многочлена , то многочлен f представится в виде:

,                                         (34)

где  - нормированные неприводимые многочлены. Такое представление многочлена f будем называть его нормированным разложением на неприводимые множители.

Очевидно, что множитель a в формуле (34) совпадает со старшим коэффициентом многочлена f и что нормированное разложение на неприводимые множители единственно с точностью до перестановки множителей.

Пусть p - какой-нибудь неприводимый делитель многочлена . Может случиться, что f делится не только на p, но и на  или даже на более высокую степень p. Наибольшее из таких чисел k, что f  делится на , называется кратностью неприводимого делителя p многочлена f. Иными словами, кратность равна k, если f делится на , но не делится на . Если p - неприводимый многочлен, не являющийся делителем многочлена