Математика \ Высшая математика

Движения плоскости. Простейшие виды движений плоскости. Параллельный перенос (вектор). Скользящее отражение, страница 3

Рис.8

А2С2 + С2В2  =  А2В2. В итоге точка С2 не может быть вне прямой А2В2 (иначе возникло бы неравенство треугольни- ка). Она не может быть и вне отрезка [А2В2] на прямой, иначе слагаемое превзойдет сумму. Следовательно, всевозможные внутренние точки отрезка [А1В1] отображаются на внутренность отрезка [А2В2]. Ч.т.д.

Следствие. Движение отображает прямую на другую прямую.

         Замечание 2.  Движение отображает полуплоскость на полуплоскость, т.е. сохраняет свойство точек лежать по одну сторону или по разные стороны от прямой в их образах.

Доказательство. Пусть точки М1 и К1 лежали по разные стороны от прямой l1, т.е. отрезок [М1К1] пересекался с прямой  l1 во внутренней точке С1 (Рис.9). 

Рис.9

При движении l1 отобразится в l2, а [М1К1] – в [М2К2] . Точка С2 будет принадлежать одновременно  [М2К2] и l2. Значит, точки К2 и М2 обязательно расположатся по разные стороны от l2. Итак, точки, лежащие по разные стороны от прямой l1,  будут сохранять это свойство и в образах. Значит, полуплоскость отобразиться в полуплоскость. Ч.т.д.

          Замечание 3. Всякое движение отображает угол на угол равной величины.

Доказательство. Внутренность любого угла можно получать пересечением двух полуплоскостей. Например, на рис.10  полуплоскости задаются границами А1В1 и А1С1, порождая угол B1A1C1 . Согласно замечанию 2, образом этой фигуры будет тоже пересечение полуплоскостей, то есть угол B2A2C2 . 

Рис.10

Его величина будет той же, так как образом треугольника D1А1F1, вписанного в B1A1C1, должен быть  вписанный в B2A2C2  треугольник, имеющий те же длины сторон. Из равенства треугольников следует равенство их углов, то есть B2A2C2=B1A1C1. Ч.т.д.

          Следствие. Всякое движение отобразит произвольный n-угольник на n-угольник с соответственно равными сторонами и углами.

          Примечание. Будем различать понятия «равные фигуры» и «конгруэнтные», считая «зеркальные» треугольники конгруэнтными, но не равными. Образно говоря, их не удастся совместить наложением без «переворачивания». Чтобы оказаться равными, две фигуры должны быть конгруэнтными (то есть иметь одинаковые расстояния между всеми парами соответственных точек), но при этом иметь одинаковую ориентацию.

Вывод. Итак, при движении сохраняются формы и размеры фигур, их взаимное расположение, так что в результате отображенная плоскость (вместе с содержавшимися в ней фигурами) «как бы смещена без деформаций по отношению к исходной плоскости» и при этом, возможно, «перевернута».

          Замечание 4. Композиция двух движений — тоже движение, так как сквозь два этапа преобразования сохранятся расстояния между точками в их образах.

             ВОПРОС: Образы скольких точек нужно указать, чтобы определить однозначно движение всей плоскости?

ОТВЕТ:  Оказывается, достаточно проследить за судьбой всего лишь трех точек, не лежащих на общей прямой. Тогда образ любой четвертой точки определяется единственно возможным способом. В этом – суть следующей теоремы.

Теорема. Если треугольники А1В1С1 и А2В2С2 имеют соответственно равные стороны, то существует и при том единственное движение плоскости, отображающее первый треугольник на второй.                         

Доказательство. В данной теореме фактически два разных утверждения. Нужно сначала убедиться, что требуемое движение существует, а затем показать его единственность.

I). Существование. Постараемся предъявить какое-нибудь конкретное движение, переводящее заданный А1В1С1 в тоже заданный (причем конгруэнтный ему) А2В2С2 . Для определенности рассмотрим случай разной ориентации треугольников .

Рис.11

Искомое движение сконструируем из

Трех простейших (Рис.11):

1)

(симметрия относительно стороны А1С1 порождаетА1В3С1 той же ориентации, что и А2В2С2);

2)

(поворот вокруг точки А1 произведем на такой угол α , чтобы стороны А1С4  и А2С2  стали параллельными);

3)

(параллельный перенос, переводящий     А1 в А2 , наконец , совместит треугольники).

Итак, искомое  движение плоскости удалось получить в виде композиции      

Скачать файл