Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса. Потенциал. Проводник в электростатическом поле, страница 5

, т.к. для воздуха.

После введения диэлектрика разность потенциалов между обкладками найдем как:

. (_*)

На границе раздела воздуха и диэлектрика свободных зарядов нет, и в данном случае вектор D перпендикулярен границе раздела, поэтому вследствие граничных условий (): D₂ = D₁.

Перепишем это через напряженности E₁ и E₂ с учетом диэлектрической проницаемости сред:

Учитывая это, перепишем соотношение (_*):

Значит,

Теперь найдем

Задача №2

Найти энергию взаимодействия заряженного отрезка длиной l = 1.7 см и точечного заряда q = 3 мкКл, расположенного на продолжении этого отрезка на расстоянии а = 1 см от ближайшего конца. Линейная плотность заряда на отрезке t = 1 мКл/м.

Решение

Энергию взаимодействия данной системы проще всего посчитать как энергию заряда q, помещенного в определенную точку поля, создаваемого заряженным отрезком: .

Потенциал поля, создаваемого элементарными зарядами dq, выделенными на отрезке, найдется как сумма:

Задача №3

Металлический шар радиуса R несет заряд q. Шар окружен слоем диэлектрика толщиной d. Определить энергию электрического поля в слое диэлектрика и собственную энергию проводника.

Решение

Найдем поле, создаваемое заряженным шаром. Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D:

Из очевидной симметрии задачи в качестве замкнутой поверхности выберем сферу радиуса r, концентрическую с данным шаром.

Таким образом,

Учитывая связь между векторами D иE, получим:

Тогда энергию поля, заключенного в слое диэлектрика, найдем по формуле:

В качестве элементарного объема dV следует выбрать узкий сферический слой радиуса r и толщины dr, где объемная плотность энергии почти не меняется: .

Собственную энергию проводника можно вычислить как энергию создаваемого им электрического поля, учитывая вычисленные значения напряженности в различных областях пространства:

Второй интеграл был только что посчитан.

Задача №4

Сфера радиуса R₁ заряжена равномерно с зарядом q. Найти работу, совершенную электрическими силами, при увеличении радиуса сферы до R₂.

Решение

Работа электрических сил равна убыли электрической энергии системы: .

Поле сферы внутри нее равно 0, а снаружи совпадает с полем точечного заряда, которым заряжена сфера, расположенным в центре этой сферы: .

Поэтому поле в области пространства, где r > R₂, одинаково до увеличения радиуса сферы и после него. Поэтому и энергия в этой области пространства не изменяется. Изменение энергии происходит в области, где R₁ < r < R₂, т.к. после увеличения радиуса сферы до R₂ напряженность поля, а вместе с ней и энергия поля, здесь становятся равными нулю. Поэтому:

, где в качестве элементарного объема выбран узкий сферический слой из соображений симметрии задачи.

Задача №5

Внутри плоского конденсатора находится параллельная пластинка, толщина которой составляет h части зазора между обкладками. Емкость конденсатора в отсутствии пластинки С. Конденсатор с пластиной зарядили до напряжения U, затем отключили от источника и после этого медленно извлекли пластинку из зазора. Найти работу, затраченную на извлечение пластинки, если диэлектрическая постоянная ее материала e.

Решение

Работа по извлечению пластинки производилась против сил поля, поэтому: