Определение собственных частот и форм. Проверка ортогональности собственных форм

Заданная система

Стационарными, или установившимися колебаниями упругой системы называются такие движения всех масс системы, при которых форма изогнутой оси системы, т.е. соотношение между перемещениями точек, остается постоянной, а сами перемещения изменяются во времени по единому закону.

Если внешним воздействием нарушить состояние устойчивого равновесия механической системы, а затем устранить это внешнее воздействие, то система начнет совершать колебания относительно исходного положения равновесия. Такие колебания называются свободными. Их форма в общем случае нестационарная.

Однако, если надлежащим образом задаться начальным положением системы, то можно получить стационарные свободные колебания. Такие колебания называются собственными.

Определение собственных частот и форм.

·  1 собственная форма колебаний с частотой SW = 0,0268 Гц

Начальная частота равна 0,015 гц.

Конечная частота – 0,08 гц.

№	Ux	Uy
1	0	0,000
2	0	-0,076
3	0	-0,138
4	0	-0,172
5	0	-0,168
6	0	-0,114
7	0	0,000
8	0	0,174
9	0	0,384
10	0	0,597
11	0	0,784
12	0	0,924
13	0	0,999
14	0	1,000
15	0	0,922
16	0	0,769
17	0	0,552
18	0	0,288
19	0	0,000

·  2 собственная форма колебаний с частотой SW = 0,0804 Гц

Начальная частота равна 0,0268 гц.

Конечная частота – 0,15 гц.

№	Ux	Uy
1	0	0,000
2	0	-0,234
3	0	-0,404
4	0	-0,467
5	0	-0,404
6	0	-0,233
7	0	0,000
8	0	0,235
9	0	0,422
10	0	0,533
11	0	0,571
12	0	0,576
13	0	0,634
14	0	0,810
15	0	0,975
16	0	1,000
17	0	0,826
18	0	0,467
19	0	0,000

·  3 собственная форма колебаний с частотой SW = 0,1129 Гц

Начальная частота равна 0,0804 гц.

Конечная частота – 0,16 гц.

	Ux	Uy
1	0	0,000
2	0	0,576
3	0	0,950
4	0	1,000
5	0	0,738
6	0	0,318
7	0	0,000
8	0	0,008
9	0	0,234
10	0	0,493
11	0	0,636
12	0	0,582
13	0	0,343
14	0	0,006
15	0	-0,314
16	0	-0,507
17	0	-0,504
18	0	-0,311
19	0	0,000

·  4 собственная форма колебаний с частотой SW = 0,1655 Гц

Начальная частота равна 0,1129 гц.

Конечная частота – 0,17 гц.

	Ux	Uy
1	0	0,000
2	0	0,325
3	0	0,483
4	0	0,405
5	0	0,161
6	0	-0,056
7	0	0,000
8	0	0,443
9	0	0,896
10	0	1,000
11	0	0,661
12	0	0,084
13	0	-0,328
14	0	-0,241
15	0	0,178
16	0	0,595
17	0	0,735
18	0	0,498
19	0	0,000

·  5 собственная форма колебаний с частотой SW = 0,1969 Гц

Начальная частота равна 0,1655 гц.

Конечная частота – 0,20 гц.

	Ux	Uy
1	0	0,000
2	0	-0,255
3	0	-0,354
4	0	-0,244
5	0	-0,017
6	0	0,134
7	0	0,000
8	0	-0,462
9	0	-0,829
10	0	-0,756
11	0	-0,240
12	0	0,412
13	0	0,794
14	0	0,667
15	0	0,114
16	0	-0,512
17	0	-0,813
18	0	-0,596
19	0	0,000

Проверка ортогональности собственных форм

Силы инерции, действующие на массу m_i при стационарных колебаниях по k-той собственной форме определяются в виде:

Рассмотрим две собственные формы с номерами 1 и 2.