Свойство матрицы жесткости. Произвольное динамическое воздействие. Решение разложением по собственным формам

I семестр         ЛЕКЦИЯ 10

2.6.3 Свойство матрицы жесткости

Задача о вынужденных колебаниях при гармоническом воздействии сведена к решению алгебраической системы уравнений относительно амплитудных значений обобщенных координат ,

т.е., по сути дела, к решению задачи статики с матрицей жесткости, зависящей от распределения масс и от частоты возмущения.

Свойство этой «динамической» матрицы жесткости: После прямого хода при обращении матрицы по способу Гаусса на главной диагонали появляются отрицательные элементы, причем количество этих элементов равно номеру участка, которому принадлежит частота θ .  Иными словами, если на  главной диагонали оказалось m отрицательных членов, то частота находится в интервале      .

 

На этом свойстве основан изложенный ниже алгоритм определения собственных частот.

1. Задаемся номером собственной частоты m .
2. Устанавливаем диапазон поиска        .
3. Шаг изменения  θ:                    .

Организуем цикл вычислений:

4. Частота из выбранного диапазона:                        ;   ;   . . .  ;   .
5. Матрица .
6. Количество отрицательных членов на главной диагонали матрицы   после прямого хода при обращении матрицы методом Гаусса, равное номеру участка которому принадлежит текущее значение
7. Два последовательных значения θ_m-1 и θ_m, соответствующие участкам  m-1 и  m, являются нижней и верхней оценками искомой собственной частоты    .
8. Если найденный интервал больше заданного заранее значения, т.е.  , то вычисления повторяются , начиная с пункта 3, для нового диапазона .
   Если точность определения собственной частоты достаточна  ( условие  выполнено), то после обращения матрицы  вычисляется форма колебаний .

2.6.4  Произвольное динамическое воздействие. Решение разложением по собственным формам.

Этот способ решения дифференциальных уравнений движения основан на свойстве ортогональности собственных форм.

Как и в задаче о свободных колебаниях начнем с уравнений не содержащих слагаемых, которые описывают диссипативные силы

.

Считая заранее определенными собственные формы колебаний (собственные векторы) динамической системы
, k=1,…,n

будем искать решение в виде суммы

,

где , k=1,…,n - функции времени.

Заметим, что представление решения в виде суперпозиции собственных форм допустимо только для линейных задач.

Это же выражение, записанное в матричной форме:

.

Тогда матричное уравнение движения принимает вид

.

Умножим это уравнение слева на транспонированный столбец . Получим

 или

/

Благодаря свойству ортогональности собственных форм в левой части равенства останутся только слагаемые с i = k, все остальные равны нулю. Следовательно уравнение примет вид

.

 

Напомним вид, который приняло уравнение свободных колебаний при подстановке в него частного решения:

.

Заменим

,

или

.

- приведенная масса при колебаниях по k собственной форме	- приведенная обобщенная сила при колебаниях по k собственной форме

Уравнение приобретает вид уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы

.

Учтем, что индекс  k пробегает значения  от 1 доn:            k=1,…, n.

Таким образом, благодаря выбору собственных форм в качестве обобщенных координат, получили вместо системы n дифференциальных уравнений относительно n неизвестных функций n отдельных дифференциальных уравнений, каждое из которых определяет одну неизвестную функцию.

Общее решение k-го уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения:

 .

Решением системы уравнений является сумма решений каждого из уравнений

.

Неизвестные постоянные интегрирования   и  ,k=1,…,n определяются из начальных условий, которым должно удовлетворять решение системы уравнений .

Выше изложен метод главных или нормальных координат, примененный при решении задачи о вынужденных колебаниях системы при отсутствии диссипации.

В связи с отсутствием надежной исходной информации о распределении сил неупругого сопротивления движению, как правило, оказывается достаточным учесть демпфирование на стадии исследования уже преобразованной системы, вводя в каждое из полученных отдельных уравнений слагаемое, пропорциональное скорости. Результатом этого действия станет появление в решении множителя в виде возведенного в отрицательную степень основания натурального алгоритма и изменением значения собственной частоты:

,

где     .

2.6.5  Произвольное динамическое воздействие. Численное интегрирование. 

В тех ситуациях, когда конструкция составлена из разнородных материалов, обладающих резко различными диссипативными свойствами, а также при наличии в системе конструктивных демпферов, введение независимых сил вязкого сопротивления приводит к существенным ошибкам в результатах. Это особенно отчетливо проявляется при близких к резонансным режимах внешних воздействий, причем демпфирование существенно влияет на формы колебаний системы.

В этом случае следует решение производить с помощью численного интегрирования.

Есть и еще один мотив, подталкивающий к использованию процедур численного интегрирования. Когда внешнее воздействие представляет собой сложную функцию времени, и это возмущение задано на ограниченном временном интервале, инженера может интересовать состояние системы в переходных процессах.

.

Решением является столбец

Весь временной интервал разбивается на малые промежутки  .

Столбец скоростей   .

Столбец ускорений   .