Статические характеристики нелинейных звеньев и их соединений. Передаточная функция разомкнутой системы

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

Факультет Технической Кибернетики

Кафедра Автоматики и Вычислительной Техники

ОТЧЕТ

по лабораторной работе № 6

«Статические характеристики нелинейных звеньев и их соединений»

Теория автоматического управления

                                           Работу выполнил студент группы 4081/1                                           

                                           Преподаватель     _______________                                          

Санкт-Петербург

2007

1.  Постановка задачи и исходные данные

1) передаточная функция разомкнутой системы:

2) статическая характеристика нелинейного элемента (рис.1.1)

Рис.1.1. Характеристика нелинейного элемента

Пункты задания:

1.   исследование линейной системы

Схема линейной системы приведена на рис.1.2.

Рис.1.2. Схема линейной системы

1.1. определение устойчивости замкнутой системы 

1.2. построение области устойчивости в пространстве двух параметров

1.3. построение линий равной степени устойчивости в области устойчивости

1.4. построение ЛАХ разомкнутой системы

1.5. синтез корректирующих звеньев по заданным динамическим требованиям (получить требования к переходному процессу у преподавателя)

1.6. проверка синтеза и построение переходного процесса

2.  исследование нелинейной системы

Схема нелинейной системы приведена на рис.1.3.

Рис.1.3. Схема нелинейной системы

2.1. определение существования автоколебаний

2.2. частота и устойчивость автоколебаний

2.3. частота и амплитуда автоколебаний

2.4. определение зависимости автоколебаний от варьируемых параметров

2.  Исследование линейной системы

Преобразование в полиномиальный вид:

>> num = conv( [100], [1 2.5 1]);

>> den = conv( [1 4 3 0], [0.06 0.7 1]);

>> wp = tf(num, den)

Transfer function:

100 s^2 + 250 s + 100

---------------------------------------------0.06 s^5 + 0.94 s^4 + 3.98 s^3 + 6.1 s^2 + 3 s

2.1.  Определение устойчивости замкнутой системы

Для этого воспользуемся алгебраическим критерием.

>> wpos = feedback(wp, 1)

Transfer function:

100 s^2 + 250 s + 100

-------------------------------------------------------0.06 s^5 + 0.94 s^4 + 3.98 s^3 + 106.1 s^2 + 253 s + 100

>> pole(wpos)

ans =

-17.03366513147392                   

1.93318403936321 + 9.72363589813767i

1.93318403936321 - 9.72363589813767i

-2.00214571361885                   

-0.49722390030029

Замкнутая система неустойчива, т.к. у ее передаточной функции есть полюса с положительной вещественной частью.

2.2.  Построение областей устойчивости в пространстве двух параметров

>> wpsym = K*(p^2+T*p+1)/(p^3+4*p^2+3*p)/(0.06*p^2+0.7*p+1);

>> pretty(wpsym)

2

K (p  + T p + 1)

---------------------------------------3      2               2

(p  + 4 p  + 3 p) (3/50 p  + 7/10 p + 1)

>> wpsymos = wpsym/(wpsym+1);

>> simplify(wpsymos);

>> collect(ans)

ans =

50*K*(p^2+T*p+1)/(3*p^5+47*p^4+199*p^3+(50*K+305)*p^2+(50*K*T+150)*p+50*K)

>> pretty(ans)

2

K (p  + T p + 1)

50 ----------------------------------------------------------------5       4        3                 2

3 p  + 47 p  + 199 p  + (50 K + 305) p  + (50 K T + 150) p + 50 K

Т.о имеем характеристический полином с коэффициентами:

>> dcom('[0.06, 0.94, 3.98, y+6.1, y*x+3, y]', -40:0.1:40, -30:0.1:50)

>> stabreg('[0.06, 0.94, 3.98, y+6.1, y*x+3, y]', -40:0.5:40, -30:0.5:50)

Области устойчивости в пространстве параметров T и K представлены на рисунке 2.1 и результат D-разложения на рисунке 2.2.

Рис.2.1. Области устойчивости

Рис.2.2. D-разбиение

Проверка результатов построения. Зададимся параметрами K T, входящими в область устойчивости, например K = 5, T = 10:

>> num1 = conv( [5], [1 2 1]);

>> wp1 = tf(num1, den)

Transfer function:

5 s^2 + 10 s + 5

---------------------------------------------0.06 s^5 + 0.94 s^4 + 3.98 s^3 + 6.1 s^2 + 3 s

>> wp1os = feedback(wp1, 1)

Transfer function:

5 s^2 + 10 s + 5

---------------------------------------------------0.06 s^5 + 0.94 s^4 + 3.98 s^3 + 11.1 s^2 + 13 s + 5

>> pole(wp1os)

ans =

-11.01191850637965                   

-1.41006814673881 + 2.66061390833795i

-1.41006814673881 - 2.66061390833795i

-1.00000000000001                   

-0.83461186680939                   

Что и требовалось доказать. Для прочих областей D-разбиения проверка аналогична.

2.3.  Построение линий равной степени устойчивости в плоскости тех же параметров.

R = [k, t*k, k];

Q = [0.06, 0.94, 3.98, k+6.1, k*t+3, k];

rtanalti('my_data')

Рис 2.3. Линии равной степени устойчивости

Рис 2.4. Линии равной степени колебательности

2.4.  Построение ЛАХ разомкнутой системы

>> num = conv( [100], [1 2.5 1]);

>> den = conv( [1 4 3 0], [0.06 0.7 1]);

>> wp = tf(num, den)

Transfer function:

100 s^2 + 250 s + 100

---------------------------------------------0.06 s^5 + 0.94 s^4 + 3.98 s^3 + 6.1 s^2 + 3 s

Рис.2.5. Логарифмические характеристики разомкнутой системы

2.5.  Синтез корректирующих звеньев по заданным динамическим требованиям

Заданные параметры качества переходного процесса:

время переходного процесса  и  перерегулирование .

Схема САР с корректирующем звеном представлена на рисунке 2.6.

Рис.2.6. Последовательное корректирующее звено

Для синтеза корректирующего звена воспользуемся частотным методом синтеза. Построим ЛАЧХ разомкнутой системы, желаемую ЛАЧХ и получим передаточную функцию корректирующего звена путем алгебраического сложения графиков ЛАЧХ.