Изучение способов математического описания и методов структурного моделирования систем управления

Санкт–Петербургский Государственный Политехнический Университет

Факультет Технической Кибернетики

Кафедра Автоматики и Вычислительной Техники

ОТЧЕТ

О лабораторной работе

Дисциплина: ТАУ

Тема: Математические модели систем

Выполнил студент группы 3081/1

Руководитель:

Санкт-Петербург

2009

1. Цель работы:

Изучение способов математического описания и методов структурного моделирования систем управления.

2. Часть 1.

Исходная система имеет передаточную функцию вида:

Составим матрицы А, B, C и D для заданной системы и проверим управляемость

;   ;   ;   D = 0;

Полученная система имеет вид:

Матрица управляемости имеет вид , или подставив значения, получим:

;   rang(U) = 3, что равняется n => система полностью управляема.

Код matlab.

>> A = [0 1 0;0 0 1;-12 -19 -8];

>> B = [0;0;1];

>> C = [-44 40 6];

>> D=0;

>> sys = ss(A,B,C,D);

>> tf(sys)

Transfer function:

   6 s^2 + 40 s - 44

-----------------------

s^3 + 8 s^2 + 19 s + 12

>> c0=ctrb(sys)

c0 =

     0     0     1

     0     1    -8

     1    -8    45

>> rank(c0)

ans = 3

Выводы:

Система полностью управляема, о чем говорит совпадение ранга матрицы С с кол-вом элементов n, которое в данном случае равняется трем (следует из старшей степени полинома в знаменателе). Вышеприведенный расчет был осуществлен вручную и так же, в системе matlab, что позволяет говорить о хорошей точности приведенного результата (т.к. все совпало).

3. Представление в пакете simulink

Рис. 3.1. Схема моделирования в приложении simulink

Рис. 3.2. Результаты моделирования

Выводы:

Как видно из полученных результатов, оба сигнала совпали, что говорит об отсутствии погрешности в данном случае при представлении программой Matlab систем в различных описаниях.

4. Часть 2. Преобразование уравнений состояния к диагональной форме

Исходная система имеет передаточную функцию вида:

Составим матрицы А, B, C и D для заданной системы

;   ;   ;   D = 0;

Представим матрицу А в диагональной форме:

Корни этого уравнения:

  

Для определения собственного вектора, соответствующему числу , решим систему:

;

Примем =1, тогда =0,6934

Определим собственный вектор, соответствующий числу :

;

Примем =1, тогда =17,3066

Таким образом, получим собственные векторы исходной матрицы А.

;

Тогда матрицу перехода можно найти следующим образом:

;

Нетрудно проверить: ;

Найдем матрицы ,  и .

;   ;

Код matlab

>> A=[0 1;-12 18];

>>B=[0;1];

>>C=[-12 8];

>>D=0;

>> A1 = eig(A)

A1 =

    0.6934

   17.3066

>>A2 = [A1(1) 0;0 A1(2)]

A2 =

    0.6934         0

         0   17.3066

>> [x2] = solve('-0.6934+x2=0');

>> [x2] = solve('-17.3066+x2=0');

>> T11=[1 1;0.6934 17.3060];

>>T=T11^(-1);

T11 =

    1.0000    1.0000

    0.6934   17.3060

>> T*A*T11

ans =

    0.6934   0.0000

    0.0000   17.3066

>> B1=T*B

B1 =

   -0.0602

    0.0602

>> C=C*T^-1

C =   10.6934

5. Представление в пакете simulink

Рис. 5.1. Схема данной системы

Рис. 5.2. Результаты моделирования полученной схемы

Выводы:

Выходные сигналы в обоих случаях идеально совпали, о чем свидетельствует приведенная выше диаграмма.