Оценка неизмеряемых координат состояния объекта при случайных возмущениях (дискретный фильтр Калмана)

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Факультет технической кибернетики

Кафедра автоматики и вычислительной техники

ОТЧЕТ по лабораторной работе № 11

Дисциплина: компьютерные системы управления

Тема: Оценка неизмеряемых координат состояния объекта при случайных возмущениях (дискретный фильтр Калмана)

Выполнил студент гр. 5081/1                                                                                 

Проверил:                                                                                                                 

Санкт-Петербург

2009   

1.  Цель работы

Ознакомление с организацией и особенностью работы дискретного фильтра Калмана, предназначенного для оценки неизмеряемых координат состояния объекта, находящегося под воздействием помех типа белого шума как на входе, так и в канале измерения выходного сигнала.

2.  Теоретические сведения

Характерной особенностью структуры данного фильтра является включение в его состав математической модели объекта, используемых для прогнозирования процессов прохождения сигнала через динамический объект. Такая структура позволяет заменить зашумлённый объект с не полностью измеряемыми координатами состояния адекватной ему моделью с полностью наблюдаемыми координатами. Кроме того, даже если какая-либо из координат измеряема, но зашумлена помехами – заменить её соответствующей координатой с модели объекта. При этом, если спектры полезного сигнала и помеха пересекаются, обеспечить минимизацию дисперсии помехи в выходном сигнале.

Таким образом, фильтром Калмана решаются две задачи – восстановление не измеряемых координат состояния объекта и  фильтрация помех.

Алгоритм оценки состояния линейного объекта управления при случайных возмущениях (дискретный фильтр Калмана)

Пусть имеется линейный стационарный объект, координаты состояния которого в дискретные моменты времени описываются марковским  процессом вида:

x(k+1)=Ax(k)+F(v(k)+u(k))                     (1)

с измерителем выходных координат состояния, описываемым уравнением

y(k+1)=Cx(k+1)+w(k+1)                          (2)

В (1) и (2) использованы следующие обозначения:

x(k) – вектор состояния; xÎRⁿ

v(k) – входной векторный случайный сигнал («белый шум») с ковариационной матрицей V; VÎR^m

u(k) – входной детерминированный сигнал; uÎR^m

y(k) – вектор выходных измерений; rÎR^r

w(k) – вектор шума измерений с ковариационной матрицей W; wÎR^r («белый шум»)

А – матрица системы,

А – матрица входа,

С – матрица измерений.

Требуется получить оценку вектора состояния  на основе измерений выхода y(k+1), содержащих случайные погрешности в виде векторного белого шума w(k+1). Калмановская фильтрация использует идею прогнозирования состояния объекта в (k+1)-й момент времени на основе оценки координат состояния в k-й момент времени и текущего измерения выходных координат y(k+1).

Прогнозируемые значения выходных координат сравнивается с измеренными и невязка (отличие прогнозируемого и измеренного значения) используется для коррекции оценки координат состояния в текущий (k+1)-й момент времени  

При этом коррекция производится в форме аддитивного сигнала, получаемого путём умножения невязки на корректирующий коэффициент (коэффициент Калмана). Корректирующий коэффициент вычисляется на каждом шаге и обеспечивает реализацию требования получения оценки с минимальной дисперсией.

На рис. 2. приведена структурная схема объекта, заданного в форме (1) и (2), и фильтра Калмана, реализующего описанную выше идею коррекции прогнозированного значения координат состояния объекта для (k+1)-го момента времени.

Рис. 2.1. Структурная схема  дискретного фильтра  Калмана.

Очевидно, что основной проблемой при этом будет вычисление корректирующего коэффициента К(к+1). Здесь предлагается использование метода фильтрации с минимальной дисперсией.

При использовании метода фильтрации с минимальной дисперсией формируется взвешенное среднее х двух независимых векторных оценок х₁ и х₂ в виде

=x₁+K^*(x₂-x₁)   (3), где К* – весовая матрица размерностью n´n, причём К* = КС.

Матрица К выбирается так, чтобы дисперсия   была минимальной.

Если принять, что Сх₂=у₂, то оценку  (3) можно переписать следующим образом:

=х₁+К(у₂-Сх₁)    (4), здесь  К – корректирующая матрица.

Применительно к рассматриваемому объекту (1) и (2)примем:

Значение коэффициентов коррекции можно получить в виде:

K(k+1)=Q(k+1)C^T[CQ(k+1)C^T+W]^-1       (7)

где Q(k+1) – ковариационная матрица оценки предсказанного значения   (k+1).

Для объекта (1) с учётом u(k)=0 получим

Q(k+1)=AP(k)A^T+FVF^T        (8)

где P(k) – ковариационная матрица оценки  на k-ом шаге, причём,

P(k)=Q(k)-K(k)CQ(k)                (9)