Линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Рекуррентный метод наименьших квадратов

Страницы работы

12 страниц (Word-файл)

Содержание работы

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ТЕХНИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

КАФЕДРА АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Расчетное задание 3

Дисциплина: Адаптивные системы управления

Работу выполнил студент     5081/2            

группа                           ФИО

Преподаватель                          

подпись                            ФИО

Санкт-Петербург

2009г.


Задание

Рассматривается объект, математическая модель которого - линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Требуется:

Исследовать системы идентификации параметров объекта в разомкнутой и замкнутой системе. Использовать два метода:

- рекуррентный метод наименьших квадратов,

- алгоритм Качмажа.

Теоретические положения

1. Рекуррентный метод наименьших квадратов

Метод имеет в своей основе минимизацию функции:

Вычисление оценок параметров объекта производятся рекуррентно, т.е. на основании текущих измерений и значений параметров полученных на предыдущем шаге.

- вектор оценки неизвестных параметров после N-го измерения.

2. Алгоритм Качмажа

Идея метода состоит в решении задачи условной минимизации, когда новая оценка строится на минимальных изменениях старой. Целевая функция:

Рабочая формула алгоритма:

 

Исходные данные

a0 = 5 , a1 =                α = 1, β = 0

Получаем следующее уравнение объекта:

Зададим период дискретизации T = 0.1, будем варьировать количество слагаемых в преобразовании (точность модели), получим переходные характеристики.

>> num = [5];

>> den = [1 sqrt(5)/2 5];

>> sys = tf(num,den)

Transfer function:

5

-----------------s^2 + 1.118 s + 5

>> step(sys)

>> hold on

>> dsys=dsys_config(0.1, 1);

>> step(dsys,10)

>> hold on

>> dsys=dsys_config(0.1, 2);

>> step(dsys,10)

>> hold on

>> dsys=dsys_config(0.1, 3);

>> step(dsys,10)

>> hold on

>> dsys=dsys_config(0.1, 4);

>> step(dsys,10)

Рис. 1. Вид переходных характеристик при T=0,1, количество слагаемых 1÷4

Для решения обратной задачи перехода от дискретной к непрерывной системе переход от некоторой реализации R(Ф, Г, С) дискретной системы к некоторой реализации R*(A*, B*, H*) непрерывной системы может быть осуществлен с помощью следующих соотношений:

Переход к дискретной форме описания:

Модель системы без сигнальных помех:

Составим уравнения для обратного преобразования оценочных коэффициентов в параметры системы:


Результаты исследования

1. Рекуррентный метод наименьших квадратов.

Применение метода для разомкнутой системы

Рис. 1.1. Модель системы в Simulink

r3.1.m

clear

T0 = 0.01;

N = 100;

A = [ 0 1; -5 –sqrt(5)/2 ];

B = [0;2];

for i=1:N              

Tk(i) = i*T0;              

end

sim('model2',Tk);

for i=1:N              

yk(i) = Yk(i);

uk(i) = Uk(i);

Tk(i) = i*T0;  

f(:,i)=[0;0;0];

P(:,:,i)=[0 0 0;0 0 0;0 0 0];      

Ck(:,i)=[0;0;0];

Gk(:,i)=[0;0;0];

end

Gk(:,2)=[0;0;0];       

f(:,3) = [-yk(2); -yk(1); uk(2)];  

P(:,:,3) = [10^6 0 0; 0 10^6 0; 0 0 10^6]; 

for k=3:N

e(k) = yk(k) - f(:,k)'*Ck(:,k-1);

Ck(:,k) = Ck(:,k-1) + Gk(:,k-1)*e(k);

f(:,k+1) = [-yk(k); -yk(k-1); uk(k)];

It = P(:,:,k)*f(:,k+1);

Jt = f(:,k+1)'*P(:,:,k)*f(:,k+1);

Gk(:,k)= It/(Jt+1) ;

P(:,:,k+1) = P(:,:,k)- Gk(:,k)*f(:,k+1)'*P(:,:,k);   

end

stairs(Ck(1,:),'r');

hold on

stairs(Ck(2,:),'g');

stairs(Ck(3,:),'b');

hold off

Рис. 1.2. Сходимость коэффициентов оценки параметров системы, Т0=0,01

Таблица 1.1. Сходимость коэффициентов оценки параметров системы, Т0=0,01

с1

с2

с3

Теоретические

-1,9913

0,9722

0,00051

Экспериментальные

-1,9692

0,9696

0,0006

Похожие материалы

Информация о работе