Линейные пространства. Аксиома линейного пространства. Следствия из аксиом линейного пространства

Матрицей перехода от базиса  к базису  является следующая:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) другой ответ.

ТЕСТ 3  ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА          

ВАРИАНТ 3

Пусть  – линейное пространство над полем . Заданы следующие утверждения: а) ; б) ; в); г) ; д).

Из этих утверждений:

1.  аксиомами линейного пространства являются:

2.  следствиями из аксиом линейного пространства являются:

3.  не имеют отношения к линейному пространству:

4.  Следующие утверждения верны:

а) если система   линейно независима, то равенство  выполняется в том случае, когда все коэффициенты равны нулю; б) любая линейно зависимая система содержит линейно зависимую подсистему, не совпадающую с ней самой; в) если система   линейно независима, то найдутся такие отличные от нуля коэффициенты, что выполняется равенство ; г) если какой-либо из элементов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных, то эта система линейно зависима; д) если равенство  выполняется при условии, что все , то система  линейно независима.

5.  Из следующих систем векторов линейно зависимыми являются: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

6.  В линейном пространстве  задана система векторов  (1). Следующие утверждения верны: а) если система (1) линейно независима, то она является базисом; б) если система (1) линейно независима и , то она является базисом; в) если система (1) является базисом, то любой из векторов пространства  можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1); г) если любой из векторов пространства  можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), то она является базисом; е).

7.  Следующие утверждения верны: а) в 6-ти мерном линейном пространстве любая система из 7-х векторов линейно независима; б) в 6-ти мерном линейном пространстве любая система из 6-х векторов линейно независима; в) 6-ти мерном линейном пространстве любая система из 6-ти векторов линейно зависима; г) в 6-ти мерном линейном пространстве любая система из 7-ми векторов линейно зависима.

8.  Следующие утверждения верны: а) подпространство линейного пространства  замкнуто относительно операций, заданных в ; б) если  и , то  – подпространство линейного пространства  над ; в) если  – подпространство линейного пространства  над , то ..

9.  Если ранг матрицы, составленной из координатных столбцов векторов, равен их количеству, то эти векторы: а) линейно зависимы; б) линейно независимы; в) такого не может быть.

10.  Матрицей перехода от базиса  к базису  является следующая:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) другой ответ.

ТЕСТ 3  ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА          

ВАРИАНТ 4

Пусть  – линейное пространство над полем . Заданы следующие утверждения: а) ; б) ; в); г) ; д) ; е).

Из этих утверждений:

1.  аксиомами линейного пространства являются:

2.  следствиями из аксиом линейного пространства являются:

3.  не имеют отношения к линейному пространству:

4.  Следующие утверждения верны:

а) любая подсистема линейно независимой системы линейно независима; б) любая линейно зависимая система содержит ; в) если любой из элементов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных, то эта система линейно зависима; г) система, содержащая линейно независимую подсистему, линейно независима; д) если система  линейно независима, то равенство  выполняется только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю.

5.  Из следующих систем функций линейно зависимыми являются: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

6.  В линейном пространстве  задана система векторов  (1). Следующие утверждения верны: а) если система (1) линейно независима и , то она является базисом; б) если система (1) является базисом, то она линейно независима; в) если , то система (1) является базисом; г) если система (1) является базисом, то .

7.  Следующие утверждения верны: а) в 7-ми мерном линейном пространстве любая система из 6-ти векторов линейно зависима; б) в 7-ми мерном линейном пространстве существует линейно независимая система из 6-ти векторов; в) в 7-ми мерном линейном пространстве существует линейно независимая система из 7-ми векторов.

8.  Следующие утверждения верны: а) непустое подмножество линейного пространства , замкнутое относительно операций, заданных в , является его подпространством; б) любое подпространство линейного пространства является линейной оболочкой некоторой системы векторов; в) линейная оболочка произвольной системы векторов линейного пространства является его подпространством.

9.  . Если ранг матрицы, составленной из координатных столбцов векторов, больше их количества, то эти векторы: а) линейно зависимы; б) линейно независимы; в) такого не может быть.

10.  Матрицей перехода от базиса  к базису : является следующая:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) другой ответ.

ТЕСТ 3  ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА          

ВАРИАНТ 5

Пусть  – линейное пространство над полем . Заданы следующие утверждения: а) ; б) ; в) ; г) ; д); е) .

Из этих утверждений:

1.  аксиомами линейного пространства являются:

2.  следствиями из аксиом линейного пространства являются:

3.  не имеют отношения к линейному пространству:

4.  Следующие утверждения верны:

а) любая подсистема линейно независимой системы линейно независима; б) если система линейно зависима, то какой-либо из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных; в) если система содержит , то она линейно зависима; г) если равенство  выполняется при условии, что все , то система  линейно зависима; д) если система   линейно независима, то найдутся такие отличные от нуля коэффициенты, что выполняется равенство .

5.  Из следующих систем векторов линейно зависимыми являются: а) ; б) ; в) ; г) ; д).

6.  В линейном пространстве  задана система векторов  (1). Следующие утверждения верны: а) если система (1) линейно независима и , то она является базисом; б) если любой из векторов пространства  можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), то она является базисом; в) если система (1) является базисом, то она линейно независима; г) если система (1) линейно независима, то она является базисом.

7.  Следующие утверждения верны: а) в 5-ти мерном линейном пространстве любая система из 6-х векторов линейно зависима; б) в 5-ти мерном линейном пространстве любая система из 4-х векторов линейно независима; в) в 5-ти мерном линейном пространстве существует линейно независимая система из 4-х векторов.

8.  Следующие утверждения верны: а) если  и , то  – подпространство линейного пространства  над ; б) если , то  – подпространство линейного пространства ; в) если  – подпространство линейного пространства  над , то .

9.  Если ранг матрицы, составленной из координатных столбцов векторов, меньше их количества, то эти векторы: а) линейно зависимы; б) линейно независимы; в) такого не может быть.

10.  Матрицей перехода от базиса  к базису : является следующая:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) другой ответ.

ТЕСТ 3  ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА          

ВАРИАНТ 6

Пусть  – линейное пространство над полем . Заданы следующие утверждения: а) ; б) ; в); г) ; д) ; е) .

Из этих утверждений:

1.  аксиомами линейного пространства являются:

2.  следствиями из аксиом линейного пространства являются:

3.  не имеют отношения к линейному пространству:

4.  Следующие утверждения верны:

а) система, содержащая линейно независимую подсистему, линейно независима; б) если любой из элементов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных, то эта система линейно зависима; в) любая линейно зависимая система содержит линейно зависимую подсистему, не совпадающую с ней самой; г) если система линейно зависима, то любой из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных; д) если равенство  выполняется при условии, что все , то система  линейно независима; е) если система   линейно независима, то найдутся такие отличные от нуля коэффициенты, что выполняется равенство .

5.  Из следующих систем функций линейно зависимыми являются: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

6.  В линейном пространстве  задана система векторов  (1). Следующие утверждения верны: а) если система (1) является базисом, то ; б) если система (1) является базисом, то она линейно независима; в) если система (1) является базисом, то любой из векторов пространства  можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1); г) если , то система (1) является базисом; д) если любой из векторов пространства  можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), то она является базисом; е) если система (1) линейно независима, то она является базисом; ж) если система (1) линейно независима и , то она является базисом.

7.  Следующие утверждения верны: а) в 6-ти мерном линейном пространстве любая система из 6-ти векторов линейно зависима; б) в 6-ти мерном линейном пространстве существует линейно независимая система из 5-ти векторов; в) в 6-ти мерном линейном пространстве любая система из 7-ми векторов линейно независима.

8.  Следующие утверждения верны: а) если , то  – подпространство линейного пространства  над ; б) если