Малые колебания систем с распределенными параметрами

I семестр         ЛЕКЦИЯ 13

4.     Малые колебания систем с распределенными параметрами

4.1  Предварительные замечания

При анализе колебаний  систем с конечным числом степеней свободы модель системы считается состоящей из элементов двух видов

·  инерционные элементы, представляющие собой абсолютно твердые тела,

·  упругие элементы, лишенные массы (безинерционные).

Задача движения системы с конечным числом степеней свободы свелась к решению системы n обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференцирование – по времени), где n – число степеней свободы, с некоторыми начальными условиями (t=0).

Все реальные объекты имеют массу и упругие связи, непрерывно распределенные по объему, т.е. состоят из бесконечного числа материальных точек. Такие системы называют системами с распределенными параметрами.

Пусть x, y, z - координаты точек тела в положении  равновесия, тогда компоненты перемещения элементарных масс относительно положения представляют собой непрерывные функции координат и времени:

Уравнения статического равновесия систем с распределенными параметрами (стержней, плит и т.д.) представляют собой дифференциальные уравнения относительно перемещений, где дифференцирование ведется по координатам. Например,

уравнение равновесия стержня при изгибе:

уравнение равновесия изгиба пластины

На основании принципа Даламбера уравнение вынужденных колебаний можно записать в форме уравнений статического равновесия, если дополнить внешние силы силами инерции и силами неупругого сопротивления.

Таким образом, на смену системе обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих систему с конечным числом степеней свободы, приходят

• уравнения в частных производных,
• с граничными (или краевыми) условиями, учитывающими связи, наложенные на тело.
• и соответствующими каждой конкретной задаче условиями начала движения (начальными условиями)

Краевая задача – уравнения + граничные условия.

4.2     Продольные колебания стержней.

4.1 Уравнение движения и граничные условия

Действие на стержень переменной во времени продольной нагрузки  вызывает его продольные колебания. Считаем при этом, что стержень достаточно тонкий и перемещением масс, связанным с поперечной деформацией пренебрегаем.

Напомним некоторые соотношения, известные из       и полученные с их помощью уравнения статического равновесия

 ;       ;        ;          ;

.

При действии на стержень переменной во времени продольной нагрузки :

              

Здесь - погонная масса стержня.

Тогда уравнение движения без учета сил сопротивления имеет вид

.

Граничные условия:

 

                                                                                         

Геометрические граничные условия (перемещения)         Динамические граничные условия (продольные силы)

Динамические граничные условия (продольные силы)

                                                                                                                                        Сила инерции  и упругая сила, приложенные к массе, находятся в равновесии:

.

Динамические граничные условия (продольные силы)

Две упругие силы находятся в равновесии:

                    

4.2     Свободные колебания

Рассмотрим случай             и   .

.

Полученное уравнение – уравнение малых колебаний – линейное, т.к. перемещения и их производные входят в первой степени. Ищем общее решение в виде суперпозиции частных. Используем метод разделения переменных, а именно, частное решение представляем в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от X, а вторая только от  t

. 

.

Обозначим       .

Тогда после подстановки частного решения получаем:

       Так как левое отношение не содержит t , а правое не содержит x, то ни одно из них не имеет переменных, а , следовательно, является константой, которую обозначим …

Тогда уравнение движения оказывается эквивалентным двум уравнениям в обычных производных

 

Частное решение для функции U(х):

, где постоянные С и D определяются из граничных условий.

Частное решение для функции T(t):

, где амплитуда и фаза определяются начальными условиями.

А что же  Для определения этого параметра как и раньше – процедура отыскания ненулевого решения. Покажем на примере.