Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

I семестр         ЛЕКЦИЯ 3

1.7 Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

 

·  Гармоническая возмущающая сила ·  Внезапно приложенная сила ·  Импульс ·  ……..и т.д.

1.7.1 Гармоническая возмущающая сила (вибрационная нагрузка)

 

Общее решение дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения, т.е. уравнения, описывающего свободные колебания,  и частного решения неоднородного уравнения

.

а)    Сначала получим частное решение, которое обеспечивает ненулевую правую часть. Для этого подставим  выражение     в уравнение         . Опустим подробности, но проанализируем  этапы  этого процесса: функции  и при дифференцировании поочередно превращаются друг в друга, меняя периодически знаки и приобретая коэффициенты. Поэтому в левой части уравнения окажется   некоторое выражение содержащее коэффициенты В₁ и В₂, которые нужно найти, и функции   и , а в правой части сохранится функция с коэффициентом:

.

Соединив все в левой части, получим сумму

.

Здесь скобками обозначены коэффициенты при  и , а внутри скобок показаны параметры, которые входят в соответствующие алгебраические выражения. Так как это уравнение должно удовлетворяться при любых значениях параметра t , и  и не получают одновременно нулевые значения, то полученное уравнение эквивалентно двум алгебраическим уравнениям относительно В1 и В2:

   .

Решением этих уравнений являются следующие выражения коэффициентов при  и в частном решении:

б)    Теперь следует найти постоянные А₁ и А₂ частного решения однородного уравнения из начальных условий движения

   и   .

Итак :

.

в)     Запишем окончательный вид решения, сгруппировав частное решение в два выражения: одно из которых содержит начальные значения смещения и скорости, а второе – коэффициенты В₁ и В₂:

Таким образом,  смещение при действии гармонического возмущения складывается из трех составляющих:

-  свободные затухающие колебания с частотой    , зависящие от начальных условий;

-  свободные затухающие колебания с частотой    , независящие от начальных условий;

-  чисто вынужденные колебания  с частотой   .

Графики движения:

IV   Установившиеся вынужденные колебания при вибрационной нагрузке описываются выражениями

или (с учетом того, что В₁<0)

                                                                                           (*)

Здесь

Для консервативной системы ( без потерь энергии)

                          (**)

V   Выводы:

Из (*): перемещения системы происходят с частотой возмущающей силы, но отстают по фазе.

Из (**):

-  при малых частотах возмущения     по сравнению с собственной частотой отставание невелико;

-  при равенстве частот возмущения и собственной        , т.е. в тот момент, когда сила максимальна, перемещение равно нулю.

VI     Динамический коэффициент

VII   Амплитудно-частотная характеристика.

Выводы:

0сновной: Возникновение больших перемещений и, соответственно, и больших усилий и напряжений может происходить при малой величине возмущающей силы (в десятки раз меньшей, чем сила, опасная при статическом воздействии) за счет сближения частоты возмущающей силы и собственной частоты системы.    

1                Учет сил вязкого сопротивления заметно влияет на величину коэффициента динамичности  лишь в околорезонансной зоне и, следовательно,

-  в удалении от резонанса можно использовать значения Кдин , полученные без учета вязкого сопротивления;

-  во всей околорезонансной зоне можно принимать Кдин= Крезонанс.

2               Полученное решение показывает в случае консервативной системы неограниченный рост перемещений при совпадении частоты возмущения с собственной частотой, т.е. при резонансе. На самом деле этого не происходит, что объясняется тем, что само  линейное уравнение правомочно лишь при малых перемещениях, при значительных перемещениях движение описывается нелинейным уравнением. 

3               При наличии  вязкого сопротивления

-  увеличение коэффициента вязкого сопротивления приводит к уменьшению динамического коэффициента;

-  перемещение не стремится к 0 при резонансе;

-  смещение резонанса в сторону  

4               В зарезонансной зоне

-  уменьшение величины динамического коэффициента и приближение к оси абсцисс: перемещения оказываются меньше, чем статические;

-  перемещения незначительны, но опасны для человеческого организма.

5              Стремление избежать возникновения резонанса имеет следующие пути реализации

-  увеличение собственной частоты за счет изменения массы и жесткости;

-  если это невозможно, то в процессе пуска и выключения обязательны специальные меры при прохождении через резонанс.