Расчет на устойчивость плоских рам

II семестр         ЛЕКЦИЯ 5

Тема 3:     Расчет на устойчивость плоских рам

3.1  Вводные замечания

Различают

• чисто сжатые рамы (терминология Корноухова);
• сжато-изогнутые рамы.

Чисто сжатые рамы теряют устойчивость аналогично центрально сжатому стержню, т.е. в них не происходит изгиба вплоть до того момента, когда продольная сила достигнет своего критического значения, которое и является целью расчета.

Расчетная схема в виде сжато-изогнутой стержневой системы правильней отражает работу рамы, т.к. даже при отсутствии внешней нагрузки на ригели  собственный вес ригелей создает деформированное состояние с изгибом элементов. Однако расчет в случае такой модели более трудоемок.

Следует иметь в виду, что сведение задачи устойчивости сжато-изогнутой рамы к задаче о чисто сжатой раме, приводит к значительному завышению критической силы.

В рамках данного курса рассматривается расчетная модель в виде чисто сжатой рамы, а именно:

1. Работа материала в упругой стадии;
2. Стержни идеально прямые;
3. Изменение длин стержней – пренебрежимо мало;
4. Нагрузка – однопараметрическая;
5. Нагрузка узловая, т.е. приложена таким образом, что не вызывает изгиба до момента потери устойчивости.

Для решения используют метод сил и метод перемещений. В первом случае перемещения  определяют для случая продольно-поперечного изгиба. Во втором – жесткость  определяется с учетом влияния продольной силы.

3.2   Метод перемещений в расчете устойчивости (чисто сжатых) рам

Неизвестные: линейные перемещения и углы поворота жестких узлов.

Основная система получается из заданной введением дополнительных связей, препятствующих независимым линейным смещениям и поворотам узлов.

Разрешающие уравнения: условия эквивалентности основной и заданной систем, т.е. условия равенства нулю усилий во введенных связях – уравнения равновесия для деформированного состояния.

Отыскиваем критическую силу в смысле Эйлера, т.е. предполагаем наличие двух смежных форм равновесия.  Под смежностью понимается малость перемещений и их производных в деформированном состоянии.

• Нагрузка считается приложенной в узлах, таким образом  и система уравнений – относительно перемещений - однородная.
• Т.к. уравнения равновесия составляются для деформированного состояния, коэффициенты жесткости вычисляются с учетом продольной силы (см. ниже вспомогательные задачи) .

 Однородная система уравнений имеет два варианта решения:

1.  Тривиальное;

2.  Смежной форме равновесия соответствует решение, где хотя бы одно .

Ненулевое решение возможно, если определитель системы равен нулю
.

Сформулированное условие (характеристическое уравнение задачи) представляет собой трансцендентное уравнение относительно некоторого параметра (см. ниже), содержащего параметр нагрузки Р.

Уравнение имеет n корней (спектр решений) . Меньший корень определяет критическую силу .

Для записи уравнения устойчивости и поиска его решения оказывается удобным, как это видно из приведенной ниже вспомогательной задачи, ввести так называемый параметр устойчивости  . Параметр устойчивости с индексом  1 определяется значением наименьшего, т.е. первого, корня уравнения  ,

На рис.  приведен вид графика зависимости определителя от параметра ν. Известно, что при   , функция  является  положительной, убывающей и имеет положительную кривизну. Это сведение полезно при отыскании критической силы.

3.3     Вспомогательные задачи

1

Покажем решение первой и пятой вспомогательных задач..

Задача 1

Граничные условия:

     «малое», но «единичное» перемещение.

Два пути решения.

Путь 1:

Для определения постоянных С₁, С₂, С₃, С₄  нужно подставить это выражение в краевые условия. Получим неоднородную систему уравнений, имеющую единственное решение.

Путь 2:

Запишем решение в форме начальных параметров для стержня, имеющего один участок.

.

Учтем начальные условия:

 

и  получим выражение для второй производной, которое потребуется для удовлетворения граничным условиям на конце стержня

.

Тогда:

     (а)

                          (б)

:            или   .

Тогда из (б):

.

Отсюда:

.

Здесь:

i – погонная жесткость;

 -  параметр устойчивости.

Заметим, что   есть значение момента, вызванного единичным поворотом заделки, при отсутствии сжимающей силы;  - функция, понижающая жесткость в зависимости от Р. При Р → 0 функция → 0.

Задача 5

Для отклоненного положения равновесия:

  ;