Статистически неопределимые системы (работающие на растяжение и сжатие, на кручение, на изгиб)

6. Статистически неопределимые системы

6.1. Основные понятия и определения

Статистически неопределенной является такая механическая система, в которой число неизвестных превышает число статистических уравнений. Порядок статистической неопределимости равен разности числу неизвестных реакций связи число уравнений статистических равновесия.

            n = N₁ – N₂                                                                                                                                                (6.1)

Для раскрытия статистической неопределимости мы должны использовать уравнения совместимости деформаций. Подавляющая часть современных конструкций зданий, сооружений, машин и т.д. являются статистически неопределимыми.

6.2. Статистически неопределимые системы, работающие
 на растяжение и сжатие

Целью использования статистически неопределимых систем в технике, является для увеличения прочности и жесткости.

6.2.1. Статически неопределимая система, у которой все связи сходятся в одной точке.

Рис. 6.1. Статически неопределимой системы, у которой
 все связи  сходятся в одной точке.

Степень статической неопределимости рассматриваемой системы

n = 3 – 2 = 1

Рассмотрим условия статистического равновесия. Используем метод сечения.

Рис. 6.2. Схема статистического равновесия

                                                                                                                                          (6.2)

После преобразований можно записать

                                                                                                           (6.3)

Рассмотрим условия совместности деформаций

Рис. 6.3. План перемещений

В прямоугольном треугольнике

Выражая удлинения через продольные силы, получим

После преобразований уравнение совместности деформаций примет следующий вид

                                                                                         (6.4)

          Три уравнения (6.2)-(6.4) образуют систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно .

              .                                                                             (6.5)

          После некоторых преобразований получим

          .

6.2.2. Статически неопределимые системы с параллельными связями

Рис. 6.5. Статически неопределимая система с параллельными связями

          Для определения степени статической неопределимости можно воспользоваться тремя уравнениями равновесия для плоской системы сил

n₁ = 4-3=1

или использовать одно условие равновесия в моментах относительно точки

n₂ =2-1=1.

          Наиболее простое решение имеет место во втором случае.

Рассмотрим условия статистического равновесия. Используем метод сечения и рассечем стержни 1 и 2, заменив действие отброшенной части продольными силами .

Рис. 6.6. Схема статистического равновесия

Рассматривая условие равновесия в моментах относительно точки , можно получить уравнение, аналогичное (6.2) и (6.3)

          ,

          .                                                                    (6.6)

Рассмотрим условия совместности деформаций

Рис. 6.7. План перемещений

После введения следующих обозначений

из подобия треугольников ∆ABB’ и ∆ACC’ можно получить условие совместности деформаций в виде

         

После перехода к продольным силам получаем условие совместности деформаций в окончательном виде

          .                                                                                             (6.7)

Совместное решение (6.6) и (6.7) позволяет получить

Для проверки используем уравнение статического равновесия в моментах относительно точки А:

.

6.2.3. Стержни, жестко заделанные на границах

Рис.6.8. Стержень, жестко заделанный на границах

1.  Вычисляем степень статистической неопределимости:

n= 2-1 =1

2.  Отбросим лишнюю связь. Прикладываем неизвестную реакцию X. Если предположить, что X нам известно, то тогда данная система полностью эквивалентна исходной статически неопределимой системе, будем называть эквивалентной системой.

3.  Перемещение в направление отброшенной связи должно быть равно 0. Это и есть уравнение совместности деформации.

                                                                                                        (6.8)

4.  Выразим через X продольные силы для каждого участка.

1.  Используем выражения для продольных сил при вычислении удлинений стержней

2.  После подстановки этих выражений в зависимость (6.8) можно определить реакцию Х

Следующие этапы решения задачи не чем не отличаются от расчетов статистически определимых систем, так как X=3F/5 можно считать внешней нагрузкой.

Для последнего примера произведем дополнительно учет нагрева второго стержня на ^○. На участке (2) происходит удлинение, как за счет упругих деформаций, так и за счет температурного расширения.

где

a_сталь        =125*10^-4   1/^○K

a_{алюминий}=240*10^-4   1/^○K

          С учетом отмеченных особенностей уравнение совместности деформаций (6.8) может быть записано в следующем виде

           

Статистические неопределимые системы с зазором и натягом. По технологическим или конструктивным причинам в технике используются зазоры и натяги. С учетом этого уравнение совместности деформаций (6.8) может быть записано в следующем виде

         

где            - величина зазора (знак положительный) или натяга (знак отрицательный).

Аналогичной зависимостью могут быть записаны и для двух первых примеров.

6.3. Статистически неопределимые задачи на кручение