Геометрические характеристики плоских сечений

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ.

   Как показывает опыт, сопротивление стержня различным деформациям зависит не только от размеров поперечного сечения, но и от формы.

   Размеры поперечного сечения и форма характеризуются различными геометрическими характеристиками: площадь поперечного сечения, статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и др.

1.  Статический момент площади (момент инерции первой степени).

Статический моментом инерции  площади относительно какой-либо оси, называется сумма произведений элементарных площадок на расстояние до этой оси, распространенная на всю площадь (рис. 1)

                                                           Рис.1

    

   Свойства статического момента площади:

1.  Статический момент площади измеряется в единицах длинны третьей степени (например, см³ ).

2.  Статический момент может быть меньше нуля, больше нуля и, следовательно, равняться нулю. Оси, относительно которых статический момент равен нулю, проходят через центр тяжести сечения и называются центральными осями.

Если x_cиy_c – координаты цента тяжести, то

3.  Статический момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси равен сумме статических моментов составляющих простых сечений относительно той же оси.

               

   Понятие статического момента инерции в науке о прочности используется для определения положения центра тяжести сечений, хотя надо помнить, что в симметричных сечениях центр тяжести лежит на пересечении осей симметрии.

2.  Момент инерции плоских сечений ( фигур ) (моменты инерции второй степени).

а) осевой (экваториальный) момент инерции.

 Осевым моментом инерции площади фигуры относительно какой-либо оси называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до этой оси распространения на всю площадь (рис. 1 )

 

   Свойства осевого момента инерции.

1.  Осевой момент инерции площади измеряется в единицах длинны четвертой степени (например, см⁴ ).

2.  Осевой момент инерции всегда больше нуля.

3.  Осевой момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси равен сумме осевых моментов составляющих простых сечений относительно той же оси:

                                                    

4.  Величина осевого момента инерции характеризует способность стержня (бруса) определенного поперечного сечения сопротивляться изгибу.

б)  Полярный момент инерции.

 Полярным моментом инерции площади фигуры относительно какого-либо полюса называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до полюса, распространенная на всю площадь (рис. 1).

   Свойства полярного момента инерции:

1.  Полярный момент инерции площади измеряется в единицах длины четвертой степени ( например, см⁴ ).

2.  Полярный момент инерции всегда больше нуля.

3.  Полярный момент инерции сложного сечения относительно какого-либо полюса (центра) равен сумме полярных моментов составляющих простых сечений относительно этого полюса.

      

4.  Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов инерции этого сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс.

      

5.  Величина полярного момента инерции характеризует способность стержня (бруса) определенной формы поперечного сечения сопротивляться кручению.

в) Центробежный момент инерции.

   ЦЕНТРОБЕЖНЫМ МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ площади фигуры относительно какой-либо системы координат называется сумма произведений элементарных площадок на координаты, распространенная на всю площадь (рис. 1)

   Свойства центробежного момента инерции:

1.  Центробежный момент инерции площади измеряется в единицах длинны четвертой степени (например, см⁴).

2.  Центробежный момент инерции может быть больше нуля, меньше нуля, и равняться нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии, будут главными осями. Главные оси, проходящие через центр тяжести площади, называются главными центральными осями, а осевые моменты инерции площади – главными центральными моментами инерции.

3.  Центробежный момент инерции сложного сечения в какой-либо системе координат равен сумме центробежных моментов инерции составляющих фигур в той же схеме координат.

                          

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ.

                              Рис.2

Дано: оси x, y – центральные;

т.е. осевой момент инерции в сечении относительно оси, параллельной центральной, равен осевому моменту относительно своей центральной оси плюс произведение площади на квадрат расстояния между осями. Отсюда следует, что осевой момент инерции сечения относительно центральной оси имеет минимальную величину в системе параллельных осей.

Сделав аналогичные выкладки для центробежного момента инерции, получим:

J_x1y1=J_xy+Aab

т.е. центробежный момент  инерции сечения относительно осей, параллельных центральной системе координат, равен центробежному моменту в центральной системе координат плюс произведение площади на расстояние между осями.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ В ПОВЕРНУТОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Рис. 3

т.е. сумма осевых моментов инерции сечения есть величина постоянная, не зависит от угла поворота осей координат и равна полярному моменту инерции относительно начала координат. Центробежный момент инерции может менять свою величину и обращаться в «0».

   Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю будут главными осями инерции, а если они проходят через центр тяжести, то они называются главными осями инерции и обозначаются «u» и «».

Моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции и обозначаются , причем главные центральные моменты инерции имеют экстремальные значения, т.е. один «min», а другой «max».

Пусть угол «a₀» характеризует положение главных осей, тогда:

по этой зависимости определяем положение главных осей. Величину же главных моментов инерции после некоторых преобразований, определяем по следующей зависимости:

ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСЕВЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ, ПОЛЯРНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОМЕНТОВ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР.

1.  Прямоугольное сечение

Рис.4

Оси  x и y – здесь и в других примерах – главные центральные оси инерции.

Определим осевые моменты сопротивления:

2.  Круглое сплошное сечение. Моменты инерции.

Рис.5

3.  Кольцевое сечение.

            Рис.6

 

4.Треугольник