Структура кристаллов. Кристаллическая решетка. Индексы Миллера. Плотность упаковки. Координационное число, страница 3

2.1  Колебания струны

Пусть совершаются продольные колебания. Выделим элемент струны Dx. Рассмотрим силы, приложенные к этому элементу, и найдем его смещение U. Тогда деформация струны ,а силовая постоянная .

Пусть линейная плотность струны r. Тогда на выделенный элемент  будут действовать две силы:

 

 – скорость распространения колебания в материале.

  (закон дисперсии), где   - квазиволновое число

2.2  Колебания цепочки одинаковых атомов

Рассмотрим цепочку одинаковых атомов, расположенных на расстоянии a, равном периоду  решетки.

Будем считать, что каждый атом взаимодействует лишь с ближайшими соседями как наиболее сильное влияние оказываемое. Влияние более удаленных атомов будем пренебрегать. Рассмотрим силы действующие на n-й атом. Исходя из предположения о взаимодействии с ближайшими соседями мы можем представить что силы действующие на n-й атом можно представить в виде: .

Где – b – упругая const;

U_n – смещение n-го атома;

U_n-1 – смещение (n-1)-го атома.

Замечание 1: связь упругой и силовой постоянных.

Рассмотрим смещение упругой цепочки.

 – связь упругой и силовой const.

Зная выражение для силы запишем закон движенияn-го атома: – уравнение движения n-го атома:  – уравнение движение n-го атома.

Решение этих уравнений будем искать в виде:

Подставим решение в уравнение движения n-го атома. Имеем:

, – закон дисперсии.  – амплитуда колебаний. . Этому соответствует экстремальному значению.

Значение к в интервале от 0 до  дает все возможные значения спектра колебания цепочки одинаковых атомов. Все другие колебания, вне этого интервала, фактически повторяют колебания в первой четверти волны. Для расчета этого спектра достаточно 1-й четверти волны. Следовательно, отметим, что в зависимости от к, наш закон дисперсии, также может быть изменен. Фактически при к→0, w→0 спектр колебаний цепочки атомов соответствует спектру колебаний струны (при к→0).

2.3  Колебания цепочки атомов 2-х сортов

Предположим, что имеем цепочку атомов с легкой массой m и тяжелых с массой M. Расстояние между атомами – a.

Пусть легкие занимают четные положение, а тяжелые – нечетные. Рассмотрим колебание таких разнородных атомов. С этой целью запишем законы движения для легких и тяжелых частиц. Учтем влияние лишь ближайших соседей на движение данного атома. Влиянием более удаленных частиц будем пренебрегать.

Для легких частиц:

Для тяжелых частиц:  

Решение этой системы уравнений будем искать в следующем виде:

 – для легких атомов.

 – для тяжелых атомов.

Подставим такие решения в уравнение движения получим систему линейных однородных уравнений относительно x и h. Система линейных однородных уравнений будет иметь ненулевое решение в том случае если определитель равен нулю.

(реш. Систему этих уравнений).

Решение будет иметь следующий вид – набор 2-х ветвей:

Проанализируем эти ветви (найдем физический смысл):

В уравнениях описываемых движение легких  и тяжелых  атомов  и  – есть амплитуды колебаний частиц.

1) 

Если рассмотреть нижнею ветвь колебаний, то для нее x = h, то есть амплитуды колебаний легких и тяжелых частиц будут равны. Отсюда следует, что для нижней ветви спектра, колебания (как самих атомов, так и их центр масс), смещается синхронно с одинаковыми амплитудами. То есть фактически для нижней ветви спектр колебаний будет представлять синусоиду, в которой смещаются вверх – вниз синхронно легкие и тяжелые атомы и соответственно их центры масс. Такие закономерности присуще акустическим колебаниям, поэтому нижняя ветвь колебания называется акустической.