Оценка максимальной величины шага устойчивого интегрирования и проверка этой оценки экспериментально (методом Эйлера). Исследование особенностей различных методов реализации схемы прогноз-коррекция

Отчёт по лабораторной работе №3

                                                                «Численные методы»

                                             Вергентьева Тихона Юрьевича

                                                               2094/2

1. При интегрировании систем линейных уравнений на основе информации о значениях собственных чисел матрицы системы оценить максимальную величину шага устойчивого интегрирования и проверить эту оценку экспериментально.

Явный метод Эйлера.

№1 l1=-1+j l2=-1-j		№2 l1=-9 l2=-1		№5 l1=j l2=-j		№7 l1=1+j1,414 l2=1-j1,414
Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость
0,1	+	0.1	+	0,001	Крит.	0,001	Крит.
0,9	+	0.22	+	0,1	–	0,1	–
1	Крит.	0.2(2)	Крит.	10	–	0,2	–
1,3	–	0.23	–

Вывод: |1+lh|<=1, (1+U)²+V²<=1 . Неравенствам удовлетворяют точки (Y*H), лежащие на комплексной плоскости, лежащие в единичной окружности с центром в точке (1;0). Для этих точек явный метод Эйлера устойчив, и чем собственное число (Y), тем больше должен быть выбран шаг интегрирования (H).

Неявный метод Эйлера для систем линейных уравнений.

№1 l1=-1+j l2=-1-j		№2 l1=-9 l2=-1		№5 l1=j l2=-j		№6 l1=j l2=-j
Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость
0,1	+	0.1	+	0,001	Крит.	0,001	Крит.
0,9	+	0.9	+	0,1	+	0,1	+
1	+	1	+	1	+	1	+
5	+	5	+	10	+	10	+

При Y*H<0 неявный метод Эйлера сходится везде, независимо от величины шага интегрирования (H).

Метод трапеции для систем линейных уравнений.

№1 l1=-1+j l2=-1-j		№2 l1=-9 l2=-1		№5 l1=j l2=-j		№7 l1=1+j l2=1-j
Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость
0,1	+	0,1	+	0,1	Крит.	0,1	-
0,5	+	0,5	+	0,5	Крит.	0,5	-
1	+	1	+	1	Крит.	1	-
5	+	5	+	5	Крит.	5	-

Метод устойчив, когда вещественная часть собственных чисел отрицательна, иначе, независимо от шага интегрирования, метод расходится.

Неявный метод Гира для систем линейных уравнений.

№1 l1=-1+j l2=-1-j		№2 l1=-9 l2=-1		№5 l1=j l2=-j		№7 l1=1+j l2=1-j
Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость	Шаг интегрирования	сходимость
0,1	+	0,1	+	0,1	Крит.	0,1	-
0,5	+	0,5	+	0,4	Крит.	0,4	-
1	+	1	+	0,5	+	0,5	-
5	+	5	+	1	+	1	-

Для пятой задачи при шаге интегрирования равном 0.4,- метод является ни сходящимся, ни расходящимся. Для седьмой задачи метод расходится независимо от шага интегрирования.

2. Исследовать особенности различных методов реализации схемы прогноз-коррекция.

Используемые методы: трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом

Интервал интегрирования: [-5;5]

Точность: 0,0001

Максимальная погрешность в виде таблицы:

	максимальная погрешность
	итерации Ньютона	регулирование шага
задача 2	8,2е-6	3,9е-6
задача 13	1,5е-4	2,7e-6
задача 15	6,2е-5	1,0e-5

Вывод: Временные затраты, реализации схемы прогноз-коррекция, на основе метода трапеций с регулированием шага - больше, зато этот метод имеет меньшую максимальную погрешность.

        3. Исследование поведения полной ошибки решения от шага интегрирования для различных методов (Методы Эйлера, РК2 – РК4), т.е. получить зависимость максимальной погрешности решения задачи разными методами при условии постоянства шага интегрирования. Дать качественное описание поведения функции полной погрешности решения.

Порядок системы: 3

Интервал интегрирования: [0;20]

Шаг интегрирования: 0,1

Шаг фиксации значений вектора состояний: 0,5

Величина максимальной ошибки:

Задача	Явный Эйлера	Неявный Эйлера	Явный РК2	Явный РК3	Явный РК4
№22	1,5E-12	1,5E-12	1,5E-12	1,5E-12	1,5E-12
№35	2,1E-07	1,9E-07	3,7E+00	3,3E+00	2,1E+00
№39	2,0E-07	2,0E-07	4,1E+00	3,5E+00	3,5E+00

Вывод: Из полученных результатов видно, что при постоянстве шага интегрирования явные методы Рунге-Кутты 2-4 для нелинейных задач дают максимальную погрешность решения на несколько порядков больше, чем методы Эйлера. Если говорить о качественном описании погрешности решения, то для методов Рунге-Кутты они представляют собой возрастающую гладкую кривую, которая затем медленно спадала и выходила на некоторое асимптотическое значение.  Для методов Эйлера эта функция представляла собой кривую, которая сначала возрастала до некоторого максимального  значения, затем спадала.

4. Сравнить оценки временных затрат при интегрировании на [t, t] методами с регулированием шага и без регулирования. (сравнивать следует методы одинакового порядка,  например, РК4 и РКФ; трапеции, Гира).

Порядок системы: 3

Интервал интегрирования: [0;30]

Шаг интегрирования: 0,0001

Шаг фиксации значений вектора состояний: 0,5

Начальное состояние: 1,2,3

Время (в секундах):

	Задача №25	Задача №28	Задача №32
Явный Эйлера	4,056	4,061	3,035
РКФ	0,052	0	0
Трапеции для линейных систем	5,060	5,049	5,049
Трапеции с регулированием шага	0	0,005	-
Неявный Гира для линейных систем	0	0	0
Неявный Гира с регулированным шагом	0	0	-

Вывод: Из результатов видно, что процесс интегрирования для методов с регулированным шагом, требуют меньше временных затрат, нежели методы с постоянным шагом. Неявный метод Гира производил интегрирование мгновенно для любого шага интегрирования.

5. При интегрировании жестких задач:

а) -получить экспериментальное подтверждение низкой эффективности (в смысле временных затрат) явных методов  (методы РК4, РКФ)

Порядок системы: 3

Интервал интегрирования: [0;50]

Шаг интегрирования: 0,0001

Шаг фиксации значений вектора состояний: 0,5

Время (в секундах):

	Задача №3	Задача №22	Задача №31
РК4	15	24	14
РКФ	12	6	5

Вывод: При интегрировании жёстких задач, явные методы неэффективны, вплане временных затрат.

б) -установить возможность и условия интегрирования задачи неявными методами с большим и постоянным шагом;  (метод трапеции)

 Порядок системы: 3

Интервал интегрирования: [0;50]

Шаг фиксации значений вектора состояний: 0,5

	Задача№2 (линейная)	Задача№3 (жёсткая)	Задача№13 (нелинейная)
Шаг	0,01	0,01	0,01
Погрешность	3,0	Неуст.	3,1
Шаг	0,1	0.1	0,8
Погрешность	2,7	Неуст.	2,5
Шаг	0,5	0,5	1,0
Погрешность	Неуст.	Неуст.	Неуст.

Вывод: Исследование, проведенное для установления возможности и условия интегрирования для жестких задач с большим и постоянным шагом, показывает, что для неявных методов условие устойчивости сохраняется до тех пор, пока величина λ*h принадлежит области его абсолютной устойчивости.

в) -сравнить эффективность применения метода Гира второго порядка с методом трапеции

 Порядок системы: 3

Интервал интегрирования: [0;50]

Шаг интегрирования: 0,1

Шаг фиксации значений вектора состояний: 0,5

Начальное состояние: 1,2,3

Максимальная погрешность:

	Метод Гира	Метод трапеций
Задача №3	20	5,3
Задача №12	5,9	5,9
Задача №22	18	8,5
Задача №31	3,7	0,45

Вывод: Из полученных результатов видно, что эффективность применения метода трапеций выше, нежели метод Гира 2 порядка.