Оценка максимальной величины шага устойчивого интегрирования и проверка этой оценки экспериментально (методом Эйлера). Исследование особенностей различных методов реализации схемы прогноз-коррекция

Страницы работы

Содержание работы

Отчёт по лабораторной работе №3

                                                                «Численные методы»

                                             Вергентьева Тихона Юрьевича

                                                               2094/2

1. При интегрировании систем линейных уравнений на основе информации о значениях собственных чисел матрицы системы оценить максимальную величину шага устойчивого интегрирования и проверить эту оценку экспериментально.

Явный метод Эйлера.

№1

l1=-1+j

l2=-1-j

№2

l1=-9

l2=-1

№5

l1=j

l2=-j

№7

l1=1+j1,414

l2=1-j1,414

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

0,1

+

0.1

+

0,001

Крит.

0,001

Крит.

0,9

+

0.22

+

0,1

0,1

1

Крит.

0.2(2)

Крит.

10

0,2

1,3

0.23

Вывод: |1+lh|<=1, (1+U)²+V²<=1 . Неравенствам удовлетворяют точки (Y*H), лежащие на комплексной плоскости, лежащие в единичной окружности с центром в точке (1;0). Для этих точек явный метод Эйлера устойчив, и чем собственное число (Y), тем больше должен быть выбран шаг интегрирования (H).

Неявный метод Эйлера для систем линейных уравнений.

№1

l1=-1+j

l2=-1-j

№2

l1=-9

l2=-1

№5

l1=j

l2=-j

№6

l1=j

l2=-j

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

0,1

+

0.1

+

0,001

Крит.

0,001

Крит.

0,9

+

0.9

+

0,1

+

0,1

+

1

+

1

+

1

+

1

+

5

+

5

+

10

+

10

+

При Y*H<0 неявный метод Эйлера сходится везде, независимо от величины шага интегрирования (H).

Метод трапеции для систем линейных уравнений.

№1

l1=-1+j

l2=-1-j

№2

l1=-9

l2=-1

№5

l1=j

l2=-j

№7

l1=1+j

l2=1-j

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

0,1

+

0,1

+

0,1

Крит.

0,1

-

0,5

+

0,5

+

0,5

Крит.

0,5

-

1

+

1

+

1

Крит.

1

-

5

+

5

+

5

Крит.

5

-

Метод устойчив, когда вещественная часть собственных чисел отрицательна, иначе, независимо от шага интегрирования, метод расходится.

Неявный метод Гира для систем линейных уравнений.

№1

l1=-1+j

l2=-1-j

№2

l1=-9

l2=-1

№5

l1=j

l2=-j

№7

l1=1+j

l2=1-j

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

Шаг интегрирования

сходимость

0,1

+

0,1

+

0,1

Крит.

0,1

-

0,5

+

0,5

+

0,4

Крит.

0,4

-

1

+

1

+

0,5

+

0,5

-

5

+

5

+

1

+

1

-

Для пятой задачи при шаге интегрирования равном 0.4,- метод является ни сходящимся, ни расходящимся. Для седьмой задачи метод расходится независимо от шага интегрирования.

2. Исследовать особенности различных методов реализации схемы прогноз-коррекция.

Используемые методы: трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом

Интервал интегрирования: [-5;5]

Точность: 0,0001

Максимальная погрешность в виде таблицы:

максимальная погрешность

итерации Ньютона

регулирование шага

задача 2

8,2е-6

3,9е-6

задача 13

1,5е-4

2,7e-6

задача 15

6,2е-5

1,0e-5

Вывод: Временные затраты, реализации схемы прогноз-коррекция, на основе метода трапеций с регулированием шага - больше, зато этот метод имеет меньшую максимальную погрешность.

        3. Исследование поведения полной ошибки решения от шага интегрирования для различных методов (Методы Эйлера, РК2 – РК4), т.е. получить зависимость максимальной погрешности решения задачи разными методами при условии постоянства шага интегрирования. Дать качественное описание поведения функции полной погрешности решения.

Порядок системы: 3

Интервал интегрирования: [0;20]

Шаг интегрирования: 0,1

Шаг фиксации значений вектора состояний: 0,5

Величина максимальной ошибки:

Задача

Явный Эйлера

Неявный Эйлера

Явный РК2

Явный РК3

Явный РК4

№22

1,5E-12

1,5E-12

1,5E-12

1,5E-12

1,5E-12

№35

2,1E-07

1,9E-07

3,7E+00

3,3E+00

2,1E+00

№39

2,0E-07

2,0E-07

4,1E+00

3,5E+00

3,5E+00

Вывод: Из полученных результатов видно, что при постоянстве шага интегрирования явные методы Рунге-Кутты 2-4 для нелинейных задач дают максимальную погрешность решения на несколько порядков больше, чем методы Эйлера. Если говорить о качественном описании погрешности решения, то для методов Рунге-Кутты они представляют собой возрастающую гладкую кривую, которая затем медленно спадала и выходила на некоторое асимптотическое значение.  Для методов Эйлера эта функция представляла собой кривую, которая сначала возрастала до некоторого максимального  значения, затем спадала.

4. Сравнить оценки временных затрат при интегрировании на [t, t] методами с регулированием шага и без регулирования. (сравнивать следует методы одинакового порядка,  например, РК4 и РКФ; трапеции, Гира).

Порядок системы: 3

Интервал интегрирования: [0;30]

Шаг интегрирования: 0,0001

Шаг фиксации значений вектора состояний: 0,5

Начальное состояние: 1,2,3

Время (в секундах):

Задача №25

Задача №28

Задача №32

Явный Эйлера

4,056

4,061

3,035

РКФ

0,052

0

0

Трапеции для линейных систем

5,060

5,049

5,049

Трапеции с регулированием шага

0

0,005

-

Неявный Гира для линейных систем

0

0

0

Неявный Гира с регулированным шагом

0

0

-

Вывод: Из результатов видно, что процесс интегрирования для методов с регулированным шагом, требуют меньше временных затрат, нежели методы с постоянным шагом. Неявный метод Гира производил интегрирование мгновенно для любого шага интегрирования.

5. При интегрировании жестких задач:

а) -получить экспериментальное подтверждение низкой эффективности (в смысле временных затрат) явных методов  (методы РК4, РКФ)

Порядок системы: 3

Интервал интегрирования: [0;50]

Шаг интегрирования: 0,0001

Шаг фиксации значений вектора состояний: 0,5

Время (в секундах):

Задача №3

Задача №22

Задача №31

РК4

15

24

14

РКФ

12

6

5

Вывод: При интегрировании жёстких задач, явные методы неэффективны, вплане временных затрат.

б) -установить возможность и условия интегрирования задачи неявными методами с большим и постоянным шагом;  (метод трапеции)

 Порядок системы: 3

Интервал интегрирования: [0;50]

Шаг фиксации значений вектора состояний: 0,5

Задача№2 (линейная)

Задача№3 (жёсткая)

Задача№13 (нелинейная)

Шаг

0,01

0,01

0,01

Погрешность

3,0

Неуст.

3,1

Шаг

0,1

0.1

0,8

Погрешность

2,7

Неуст.

2,5

Шаг

0,5

0,5

1,0

Погрешность

Неуст.

Неуст.

Неуст.

Вывод: Исследование, проведенное для установления возможности и условия интегрирования для жестких задач с большим и постоянным шагом, показывает, что для неявных методов условие устойчивости сохраняется до тех пор, пока величина λ*h принадлежит области его абсолютной устойчивости.

в) -сравнить эффективность применения метода Гира второго порядка с методом трапеции

 Порядок системы: 3

Интервал интегрирования: [0;50]

Шаг интегрирования: 0,1

Шаг фиксации значений вектора состояний: 0,5

Начальное состояние: 1,2,3

Максимальная погрешность:

Метод Гира

Метод трапеций

Задача №3

20

5,3

Задача №12

5,9

5,9

Задача №22

18

8,5

Задача №31

3,7

0,45

Вывод: Из полученных результатов видно, что эффективность применения метода трапеций выше, нежели метод Гира 2 порядка.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
89 Kb
Скачали:
0