Исследование распространения упругих волн в анизотропной пластине. Закон Гука для плоского деформированного состояния

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Тульский государственный университет

Кафедра прикладной математики и информатики

Математическое моделирование 

Лабораторная  работа  №4

“ Исследование распространения упругих волн

 в анизотропной пластине.”

Выполнил студент группы                       

Принял                                                                      

Тула, 2005г.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Исследование распространения упругих волн в анизотропной пластине.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА:

Закон Гука для плоского деформированного состояния в анизотропной среде имеет вид

                                         (1)

Здесь – компоненты тензора напряжения, – компоненты тензора деформации или относительное удлинение относительно координатной оси

                                                   (2)

Уравнения движения материальных точек среды твердого тела в напряжениях запишутся так:

                                                  (3)

где r – плотность материала; (U, V) – проекции вектора перемещения на оси х, у.

Подставим соотношения (2) в уравнения (1):

                                  (4)

Подставив формулы (4) в уравнения (3), получим уравнение  движения в перемещениях:

   (5)

Пусть в плоскости (х, у) распространяется плоская волна вида

                                              (6)

Следовательно,

                                        (7)

Подставим (7) в уравнение (5):

где .

Получим

Полученную систему представим в виде

                                                  (6)

где

                             (7)

Так как в общем случае А и В одновременно не равны нулю, то определитель системы (6) должен быть равен нулю

,

, и для с получим уравнение

.                                           (8)

Решая это уравнение, получим

                                    (9)

Из выражения (9) для квадрата скорости плоской волны (для каждой координатной плоскости), распространяющейся в анизотропной среде, можно заключить, что в безграничной трехмерной среде для каждого направления существуют три действительных скорости распространения волны и скорости этих волн зависят от направления распространения волны.

Как известно, для упругой изотропной среды для каждого направления существуют лишь две действительные скорости распространения волн  и , и они не зависят от направления распространения волн.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА MAPLE:

restart;

rho:=7.7;

E1:=3e5;

E2:=3.4e5;

G2:=0.21e5;

nu12:=0.134;

nu21:=0.15;

lambda11:=E1/(1+nu12*nu21);

lambda12:=nu21*E1/(1+nu12*nu21);

lambda16:=1.44e5;

lambda22:=E2/(1+nu12*nu21);

lambda26:=0.71e5;

lambda66:=G2;

C1:=(alpha)->lambda11*(cos(alpha))^2+2*lambda16*cos(alpha)              *sin(alpha)+lambda66*(sin(alpha))^2;

C2:=(alpha)->lambda16*(cos(alpha))^2+(lambda16+lambda66)*cos(alpha)              *sin(alpha)+lambda26*(sin(alpha))^2;

C3:=(alpha)->lambda66*(cos(alpha))^2+2*lambda26*cos(alpha)

*sin(alpha)+lambda22*(sin(alpha));

c1:=(alpha)->(C1(alpha)+C2(alpha))/2/rho+sqrt((C1(alpha)*C1(alpha)-C3(alpha)*C3(alpha))^2+4*C2(alpha)*C2(alpha))/2/rho;

c2:=(alpha)->(C1(alpha)+C2(alpha))/2/rho-sqrt((C1(alpha)*C1(alpha)-C3(alpha)*C3(alpha))^2+4*C2(alpha)*C2(alpha))/2/rho;

plot(c1(alpha),alpha=0..6.28,coords=polar);

plot(c2(alpha),alpha=0..6.28,coords=polar);