Подставляя принятые ранее гипотезы в уравнения геометрии(4-5):
Получаем первые 2 уравнения геометрии:
(9)
- функция
не зависящая от z
-
находится путём интегрирования второго выражения в пределах [0;z].
Это позволяет выразить компоненты вектора перемещения каждого слоя через перемещения срединных поверхностей.
![]() |
Где - прогиб
срединной поверхности слоя,
-
перемещение срединной поверхности вдоль образующей;
-
угол поворота нормали к срединной поверхности: .
Учитывая эти уравнения получаем остальные 3 уравнения геометрии.
(10)
Подставив равенства из
уравнений геометрии (10) в уравнения закона Гука, определяем компоненты тензора
напряжений.
(11)
Вводим в рассмотрение удельные силовые факторы с целью понижения размерности.
![]() |
(12)
Где: (s)- отнесённая к единице длинны в
окружном направлении удельная тангенсальная сила, действующая в напряжении
образующей.
-
отнесённая к единице длинны в направлении образующей удельная тангенсальная
сила, действующая в этом направлении.
-
отнесённая к единице длинны в окружном направлении изгибающий момент,
действующий в направлении образующей.
-
отнесённая к единице длинны в окружном направлении удельная поперечная сила.
Для перехода к удельным силовым факторам мы проинтегрировали по толщине уравнения равновесия(2).
(13)
Аналогично мы поступили с
законами Гука, проинтегрировав компоненты тензора напряжений (11).
![]() |
|||
![]() |
|||
![]() |
(14)
![]() |
|||
![]() |
|||
![]() |
В итоге мы получили фундаментальные уравнения нашей задачи.
![]() |
(15)
Численное решение
Для численного решения мы использовали пакет Maple, где применили метод Бубнова- Галёркина. Мы представили искомые функции в виде линейной комбинации ортогональных полиномов Лежандра:
![]() |
(16)
Коэффициенты при полиномах находим методом минимизации невязок:
Е[i]- i-е фундаментальное уравнение в которые подставлены искомые функции в виде разложения.
а константы интегрирования из граничных условий:
В итоге получили графики перемещений, прогиба срединной поверхности и непряжения.
Как видно на графике (рис.2-3) перемещение верхней и нижней лицевой поверхности разных знаков. Где максимальное перемещение у верхней лицевой поверхности, там минимальное у нижней, и наоборот.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.