Экспериментальное исследование численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, страница 4

Вывод: Что касается хорошо обусловленных матриц, то единственная оценка, которая  более менее достоверно отображает действительность- это ErrEst([P]) при Р возмущении и ErrEst([M]) при возмущении типа М; реальность показывает, что действительно составная оценка погрешности чуть (а иногда и гораздо) достовернее, чем стандартная (ErrEst(cond)), которая изменяется незначительно(не смотря на то, что фактическая погрешность быстро растёт). Из сказанного делаем вывод, что стандартная оценка ошибки решения не действенна и не может в полной мере отражать реальность, а что касается ErrEst([P]) и ErrEst([M]), то, при соответственном типе возмущения, только по их значениям можно чётко судить о фактической ошибке (растут их значения, растет и значение фактической ошибки). Однако, при Р возмущении значение ErrEst([M]),как и при М возмущении- ErrEst([P]),уже не является параметром оценки ошибки решения, оставаясь неизменным.

У плохо обусловленных матриц ситуация абсолютно аналогичная: ErrEst([P]) и  ErrEst([М]) – единственные достоверные оценки ошибки решения, при соответственном типе возмущения, отражающие любое изменение фактической ошибки(по аналогии с хорошо обусловленными матрицами). ErrEst(cond), а также  ErrEst([M])при Р возмущении, как и при М возмущении- ErrEst([P]),) в данном случае  так же не отражают действительности, либо не изменяясь, либо меняясь хаотическиТаким образом, при внесении в данные матрицы возмущений  Р и М типа разумнее всего пользоваться значениями ErrEst([P]) и ErrEst([М]) соответственно.

9.Применяем для решения систем итерационный метод Гаусса-Зейделя; проверяем реализацию задаваемого критерия точности. Исследованием спектра итерационной матрицы проверяем выполнение теоремы сходимости стационарного метода. Выявляем взаимосвязь скорости сходимости итерационного процесса  с величиной спектрального радиуса итерационной матрицы:

Здесь, за вектор начального приближения брали столбец, состоящий только из одних единиц; λ max-максимальное собственное число интерполяционной матрицы (по модулю).

Метод Гаусса-Зейделя:

Матрица №2

Порядок матрицы	Число итераций	Точность	λ max	Cond	ErrEst(cond)	Real Error
3	28	5E-05	6.667E-01	1.933E+01	3.24E-05	2.346E-05
6	63	5E-05	8.333E-01	7.700E+01	1.94E-04	1.276E-04
10	97	5E-05	8.889E-01	1.705E+02	4.92E-04	3.180E-04
12	129	5E-05	9.167E-01	2.999E+02	8.83E-04	5.303E-04

Порядок матрицы	Число итераций	Точность	λ max	Cond	ErrEst(cond)	Real Error
3	68	5E-17	6.667E-01	1.933E+01	5.02E-12	2.425E-12
6	151	5E-17	8.333E-01	7.700E+01	7.70E-11	2.728E-11
10	243	5E-17	8.889E-01	1.705E+02	1.57E-10	6.791E-11
12	350	5E-17	9.167E-01	2.999E+02	2.84E-10	1.213E-10

интересно, почему заданная точность не достигалась

Вывод: Для матрицы №2(хорошо обусловленная), метод Якоби совсем не применим (не выполняется теорема сходимости); метод Гаусса-Зейделя дает   окончательный результат, с учетом выполнения теоремы сходимости для всех исследованных случаев. Как можно видеть (матрица №2), с ростом порядка матрицы системы, спектральный радиус итерационной матрицы увеличивается и чем больше его величина  стремится (по модулю) к единице тем скорость сходимости итерационного процесса меньше, причём при понижении порядка задаваемой точности скорость сходимости также понижается (при тех же значениях спектрального радиуса). Итак, отсюда видно, что с уменьшением порядка точности возрастает количество итерационных операций, увеличивается приемлемость результата (фактическая ошибка понижается) и его составные оценки.

Для матриц №9,№11 данные методы совсем не применимы,т.к. не выполняются теоремы сходимости.

10. Проводим исследование влияния вида доминирования матрицы задачи на сходимость процедур Якоби и Гаусса-Зейделя:

Матрица №1:

1  0.05   0.05

15   1     0.1

      25    7     0,1

Итерационный метод	Число итераций	Точность	λ max	Cond	ErrEst(cond)	Real Error
Якоби	70	5E-05	8.480E-01	6.491E+03	4.733E-03	3.046E-05
Якоби	112	5E-08	8.480E-01	6.491E+03	4.830E-06	2.769E-08
Гаусс-Зейдель	31	5E-05	7.095E-01	6.491E+03	4.026E-03	8.951E-05
Гаусс-Зейдель	46	5E-08	7.095E-01	6.491E+03	4.542E-06	8.657E-08

Матрица №2:

1                0          0

0               1           0

0,001    0.001   0.999 – по идее, можно было не делать так много нулевых элементов

Итерационный метод	Число итераций	Точность	λ max	Cond	ErrEst(cond)	Real Error
Якоби	3	5E-05	0	1.001E+00	1.364E-13	0
Якоби	4	5E-08	0	1.001E+00	1.364E-13	0
Гаусс-Зейдель	7	5E-05	0	1.001E+00	1.364E-13	0
Гаусс-Зейдель	9	5E-08	0	1.001E+00	1.364E-13	0

Вывод: Как можно видеть, на скорость сходимости  метода влияет матрица исходной системы задачи. Метод Якоби доминирует при хорошем приближении матрицы системы к диагональной, а метод Гаусса-Зейделя – при матрице, имеющей вид близкий к нижнее треугольной (этот метод более действенен)—такой вывод мжно сделать н основании полученных таблиц. Из них видно, что в случае диагональной матрицы метод Якоби требует в среднем в два раза меньше операций итерации. То же можно сказать и о методе Гаусса-Зейделя в случае нижнетреугольного  доминирования системы. На основании числа итераций для достижения заданной точности и можно говорить об эффективности     данного метода.