Экспериментальное исследование численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, страница 2

Внося малые возмущения в матрицу системы, получали следующие изменения чисел обусловленности и относительной ошибки:

№ матрицы	|| Md ||	Mju 2 до возм.	Mju 2 после возм.	Real Error до возм.	Real Error после возм.
6	9.259E-08	1.199E+10	1.199E+10	1.175E-05	3.780E+00
11	5.499E-09	6.072E+07	5.624E+07	2.247E-06	7.824E-07
12	3.357E-09	5.362E+12	7.608E+08	7.422E-03	4.118E-01
13	5.499E-09	4.097E+06	3.889E+07	9.869E-07	1.126E-07

Вывод: Из полученных результатов можно сделать вывод, что уменьшение числа обусловленности возможно далеко  не всегда. И трудно предсказать, когда это уменьшение произойдет. Однако внесение возмущения в матрицу практически никогда не ухудшает обусловленности более  чем на порядок. То есть при плохой обусловленности системы целесообразно вносить малые возмущения. Хуже не будет, а лучше—может быть.  О том, что возможно как улучшение, так и ухудшение обусловленности говорят  строки 4 и 3 соответственно.

6.Исследуем задачи с хорошо обусловленными матрицами на приемлемость для получения требуемой точности решения степени неопределенности в задании исходных данных посредством внесения в матрицу системы возмущений различной величины:

Матрица №2, порядок матрицы равен 5:

Вносим возмущения P типа:

KepsA	|| P ||	ErrEst([P])	ErrEst([M])	Real Error	Mju 2	ErrEst(cond)
0	0.000E+0000	2.69E-0019	4.07E-0019	0.000E+0000	6.000E+0001	0.00E+0000
5E+07	9.035E-0012	1.63E-0011	2.00E-0001	1.455E-0011	6.000E+0001	1.51E-0011
5E+10	7.729E-0009	7.74E-0009	2.00E-0001	5.425E-0009	6.000E+0001	1.96E-0011
5E+15	8.053E-0004	8.05E-0004	2.00E-0001	3.610E-0004	6.003E+0001	3.63E-0011
5E+18	1.076E+0000	1.08E+0000	1.82E-0001	4.839E-0001	9.102E+0001	2.62E-0011
5E+21	9.997E+0002	1.00E+0003	5.99E-0002	9.992E-0001	2.951E+0002	1.30E-0010

Вносим возмущения M типа:

KepsA	|| M ||	ErrEst([P])	ErrEst([M])	Real Error	Mju 2	ErrEst(cond)
0	0.000E+0000	2.71E-0019	2.18E-0019	0.000E+0000	6.000E+0001	0.000E+0000
5E+07	2.626E-0011	1.26E-0011	2.66E-0011	5.821E-0012	6.000E+0001	3.12E-0011
5E+10	3.162E-0008	2.87E-0011	2.91E-0008	2.908E-0008	6.000E+0001	6.50E-0011
5E+15	2.239E-0003	6.60E-0012	1.11E-0003	1.111E-0003	6.016E+0001	1.80E-0011
5E+18	2.398E+0000	4.30E-0012	1.11E+0000	3.339E+0000	1.460E+0002	3.339E+000
5E+21	2.198E+0003	2.03E-0012	1.08E+0000	1.028E+0000	6.446E+0001	2.85E-0010

Матрица №3, порядок матрицы равен 5:

Вносим возмущения P типа:

KepsA	|| P ||	ErrEst([P])	ErrEst([M])	Real Error	Mju 2	ErrEst(cond)
0	0.000E+000	1.53E-12	3.93E-02	7.276E-13	1.576E+01	6.24E-12
5E+07	9.435E-12	1.38E-11	3.93E-02	6.548E-12	1.576E+01	8.39E-12
5E+10	8.177E-09	8.18E-09	3.93E-02	4.024E-09	1.580E+01	1.04E-11
5E+16	8.653E-03	8.65E-03	3.92E-02	1.747E-03	1.586E+01	2.07E-11
5E+19	9.913E+000	9.91E+000	2.94E-02	1.203E+00	2.958E+01	1.95E-11
5E+21	7.747E+02	7.75E+02	9.37E-02	1.004E+00	3.051E+01	1.76E-11

Вносим возмущения M типа:

KepsA	|| M ||	ErrEst([P])	ErrEst([M])	Real Error	Mju 2	ErrEst(cond)
0	0.000E+00	1.53E-12	1.53E-12	7.276E-13	1.576E+01	6.24E-12
5E+07	7.902E-11	1.44E-12	5.65E-12	6.730E-12	1.576E+01	2.52E-12
5E+10	8.385E-08	1.81E-12	4.10E-09	4.100E-09	1.576E+01	7.28E-12
5E+16	8.835E-02	7.61E-12	2.34E-03	2.341E-03	1.573E+01	1.24E-11
5E+19	9.890E+01	3.08E-12	2.020E+00	9.688E+00	6.344E+01	8.70E-11
5E+21	5.846E+03	3.50E-12	9.92E-01	1.121E+00	1.519E+01	1.77E-11

KepsB=0

Здесь требуемая точность, которую мы задали, равна 1E-05; KepsA – вносимое нами возмущение; || P || и || M ||- норма матриц P и M возмущений соответственно; ErrEst([P]) и ErrEst([M]) - оценка ошибок P и M матриц возмущения соответственно.

Вывод: Как мы видим из опыта, при внесении в наши хорошо обусловленные матрицы разных возмущений происходит изменение точности получаемого результата. Ввиду хорошей обусловленности данных  матриц, они  изменяют свои числа обусловленности очень незначительно и значение этих чисел по-прежнему очень мало (что, несомненно, хорошо). При увеличении вносимого возмущения точность получаемого решения резко снижается, достигая положительных степеней. При этом возмущение P типа у матрицы №2 вызывает возникновение меньшей по значению погрешность, чем возмущение M типа; у матрицы №3 оба возмущения приводят к похожим погрешностям решения.  Малость ошибки матрицы  M при P возмущении и малость ошибки матрицы P при  M возмущении  подтверждает тот факт, что матрицы хорошо обусловлен(PA=M, где А-матрица системы исходной задачи, обратная величина которой здесь очень мала). Норма матрицы Р или М,  при соответственном типе возмущения, может служить показателем точности решения, т.к. возрастает с ростом фактической ошибки.  Значит: чем меньше неопределенность в задании исходных данных, тем больше вероятность получить решение, удовлетворяющее наперед заданной точности.