Экспериментальное исследование численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, страница 2

Внося малые возмущения в матрицу системы, получали следующие изменения чисел обусловленности и относительной ошибки:

№ матрицы

|| Md ||

Mju 2 до возм.

Mju 2 после возм.

Real Error до возм.

Real Error после возм.

6

9.259E-08

1.199E+10

1.199E+10

1.175E-05

3.780E+00

11

5.499E-09

6.072E+07

5.624E+07

2.247E-06

7.824E-07

12

3.357E-09

5.362E+12

7.608E+08

7.422E-03

4.118E-01

13

5.499E-09

4.097E+06

3.889E+07

9.869E-07

1.126E-07

Вывод: Из полученных результатов можно сделать вывод, что уменьшение числа обусловленности возможно далеко  не всегда. И трудно предсказать, когда это уменьшение произойдет. Однако внесение возмущения в матрицу практически никогда не ухудшает обусловленности более  чем на порядок. То есть при плохой обусловленности системы целесообразно вносить малые возмущения. Хуже не будет, а лучше—может быть.  О том, что возможно как улучшение, так и ухудшение обусловленности говорят  строки 4 и 3 соответственно.

6.Исследуем задачи с хорошо обусловленными матрицами на приемлемость для получения требуемой точности решения степени неопределенности в задании исходных данных посредством внесения в матрицу системы возмущений различной величины:

Матрица №2, порядок матрицы равен 5:

Вносим возмущения P типа:

KepsA

|| P ||

ErrEst([P])

ErrEst([M])

Real Error

Mju 2

ErrEst(cond)

0

0.000E+0000

2.69E-0019

4.07E-0019

0.000E+0000

6.000E+0001

0.00E+0000

5E+07

9.035E-0012

1.63E-0011

2.00E-0001

1.455E-0011

6.000E+0001

1.51E-0011

5E+10

7.729E-0009

7.74E-0009

2.00E-0001

5.425E-0009

6.000E+0001

1.96E-0011

5E+15

8.053E-0004

8.05E-0004

2.00E-0001

3.610E-0004 

6.003E+0001

3.63E-0011

5E+18

1.076E+0000

1.08E+0000

1.82E-0001

4.839E-0001

9.102E+0001

2.62E-0011

5E+21

9.997E+0002

1.00E+0003

5.99E-0002

9.992E-0001

2.951E+0002

1.30E-0010

Вносим возмущения M типа:

KepsA

|| M ||

ErrEst([P])

ErrEst([M])

Real Error

Mju 2

ErrEst(cond)

0

0.000E+0000

2.71E-0019

2.18E-0019

0.000E+0000

6.000E+0001

0.000E+0000

5E+07

2.626E-0011

1.26E-0011

2.66E-0011

5.821E-0012

6.000E+0001

3.12E-0011

5E+10

3.162E-0008

2.87E-0011

2.91E-0008

2.908E-0008

6.000E+0001

6.50E-0011

5E+15

2.239E-0003

6.60E-0012

1.11E-0003

1.111E-0003

6.016E+0001

1.80E-0011

5E+18

2.398E+0000

4.30E-0012

1.11E+0000

3.339E+0000

1.460E+0002

3.339E+000

5E+21

2.198E+0003

2.03E-0012

1.08E+0000

1.028E+0000

6.446E+0001

2.85E-0010

Матрица №3, порядок матрицы равен 5:

Вносим возмущения P типа:

KepsA

|| P ||

ErrEst([P])

ErrEst([M])

Real Error

Mju 2

ErrEst(cond)

0

0.000E+000

1.53E-12

3.93E-02

7.276E-13

1.576E+01

6.24E-12

5E+07

9.435E-12

1.38E-11

3.93E-02

6.548E-12

1.576E+01

8.39E-12

5E+10

8.177E-09

8.18E-09

3.93E-02

4.024E-09

1.580E+01

1.04E-11

5E+16

8.653E-03

8.65E-03

3.92E-02

1.747E-03

1.586E+01

2.07E-11

5E+19

9.913E+000

9.91E+000

2.94E-02

1.203E+00

2.958E+01

1.95E-11

5E+21

7.747E+02

7.75E+02

9.37E-02

1.004E+00

3.051E+01

1.76E-11

Вносим возмущения M типа:

KepsA

|| M ||

ErrEst([P])

ErrEst([M])

Real Error

Mju 2

ErrEst(cond)

0

0.000E+00

1.53E-12

1.53E-12

7.276E-13

1.576E+01

6.24E-12

5E+07

7.902E-11

1.44E-12 

5.65E-12

6.730E-12 

1.576E+01

2.52E-12

5E+10

8.385E-08

1.81E-12 

4.10E-09

4.100E-09

1.576E+01

7.28E-12

5E+16

8.835E-02

7.61E-12 

2.34E-03

2.341E-03

1.573E+01

1.24E-11

5E+19

9.890E+01

3.08E-12 

2.020E+00

9.688E+00

6.344E+01

8.70E-11

5E+21

5.846E+03

3.50E-12 

9.92E-01

1.121E+00

1.519E+01

1.77E-11 

KepsB=0

Здесь требуемая точность, которую мы задали, равна 1E-05; KepsA – вносимое нами возмущение; || P || и || M ||- норма матриц P и M возмущений соответственно; ErrEst([P]) и ErrEst([M]) - оценка ошибок P и M матриц возмущения соответственно.

Вывод: Как мы видим из опыта, при внесении в наши хорошо обусловленные матрицы разных возмущений происходит изменение точности получаемого результата. Ввиду хорошей обусловленности данных  матриц, они  изменяют свои числа обусловленности очень незначительно и значение этих чисел по-прежнему очень мало (что, несомненно, хорошо). При увеличении вносимого возмущения точность получаемого решения резко снижается, достигая положительных степеней. При этом возмущение P типа у матрицы №2 вызывает возникновение меньшей по значению погрешность, чем возмущение M типа; у матрицы №3 оба возмущения приводят к похожим погрешностям решения.  Малость ошибки матрицы  M при P возмущении и малость ошибки матрицы P при  M возмущении  подтверждает тот факт, что матрицы хорошо обусловлен(PA=M, где А-матрица системы исходной задачи, обратная величина которой здесь очень мала). Норма матрицы Р или М,  при соответственном типе возмущения, может служить показателем точности решения, т.к. возрастает с ростом фактической ошибки.  Значит: чем меньше неопределенность в задании исходных данных, тем больше вероятность получить решение, удовлетворяющее наперед заданной точности.