Экспериментальное исследование численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, страница 3

7. Исследуем задачи с плохо обусловленными матрицами на приемлемость для получения требуемой точности решения степени неопределенности в задании исходных данных посредством внесения в матрицу системы возмущений различной величины:

Матрица №9 порядок матрицы равен 5:

Вносим возмущения P типа:

KepsA	|| P ||	ErrEst([P])	ErrEst([M])	Real Error	Mju 2	ErrEst(cond)
0	0.000E+0000	3.42E-0019	2.46E-0019	0.000E+0000	9.000E+000	0.000E+0000
5E+07	9.435E-0012	1.03E-0011	5.00E-0001	3.638E-0012	9.000E+000	2.98E-0012
5E+10	9.526E-0009	9.53E-0009	5.00E-0001	2.265E-0009	9.000E+000	1.63E-0012
5E+15	8.695E-0004	8.70E-0004	5.00E-0001	5.049E-0004	9.006E+000	3.40E-0012
5E+18	8.992E-0001	8.99E-0001	4.00E-0001	8.561E-0001	1.114E+001	4.01E-0012
5E+21	9.337E+0002	9.34E+0002	8.51E-0001	1.000E+0000	3.684E+001	8.29E-0011

Вносим возмущения M типа:

KepsA	|| M ||	ErrEst([P])	ErrEst([M])	Real Error	Mju 2	ErrEst(cond)
0	0.000E+0000	2.49E-019	2.00E-0019	0.000E+0000	9.000E+000	0.00E+0000
5E+07	9.567E-0012	1.09E-012	3.03E-0012	2.910E-0012	9.000E+000	3.80E-0012
5E+10	9.881E-0009	1.67E-012	4.03E-0009	4.027E-0009	9.000E+000	2.44E-0012
5E+15	8.632E-0004	1.53E-012	3.64E-0004	3.642E-0004	9.004E+000	2.94E-0012
5E+18	9.472E-0001	1.43E-012	8.38E-0001	4.685E-0001	1.510E+002	4.40E-0012
5E+21	1.130E+0003	3.05E-012	1.03E+0000	1.012E+0000	1.080E+001	1.49E-0010

Матрица №11, порядок матрицы равен 5:

Вносим возмущения P типа:

KepsA	|| P ||	ErrEst([P])	ErrEst([M])	Real Error	Mju 2	ErrEst(cond)
0	0.000E+00	2.93E-06	1.64E+01	1.247E-06	6.072E+07	2.95E-05
5E+07	8.833E-12	3.07E-06	8.08E+01	6.672E-06	6.072E+07	3.68E-05
5E+10	1.139E-08	6.03E-06	7.53E+01	6.070E-06	6.070E+07	3.01E-05
5E+16	8.361E-03	8.36E-03	1.59E+01	3.323E-03	6.061E+07	1.77E-05
5E+18	9.163E-01	9.16E-01	3.45E+01	3.481E-01	5.639E+07	1.07E-05
5E+20	1.014E+02	1.01E+02	3.40E+01	1.034E+00	5.189E+07	2.89E-05

Вносим возмущения M типа:

KepsA	|| M ||	ErrEst([P])	ErrEst([M])	Real Error	Mju 2	ErrEst(cond)
0	0.000E+00	2.93E-06	2.93E-06	1.247E-06	6.072E+07	2.95E-05
5E+07	7.432E-12	9.51E-07	1.21E-05	1.349E-05	6.072E+07	1.77E-05
5E+10	6.064E-09	1.02E-06	2.87E-03	2.902E-03	6.020E+07	4.50E-05
5E+16	6.412E-03	3.02E-09	5.760E+00	5.121E+01	1.398E+05	1.06E-06
5E+18	6.681E-01	3.20E-12	1.29E-01	3.775E+00	1.097E+02	3.68E-11
5E+20	6.363E+01	6.00E-13	1.130E+00	1.082E+00	1.075E+01	2.45E-11

Здесь требуемая точность, которую мы задали, равна 1E-05.

Вывод: Как показал эксперимент, внося возмущения в матрицы с плохой обусловленностьюв них происходят кардинальные изменения. В матрице №11(при внесении возмущения М типа) с  увеличением вносимого возмущения число обусловленности начинает понижаться, что могло бы свидетельствовать о произошедшем улучшении её обусловленности, но, смотря на поведение значений фактической ошибки, которая резко возрастает до положительных порядков, можно говорить о ложности нашего предположенияВ случае Р возмущений обеих матриц результат тот же, что и в п.6: фактическая ошибка возрастает и по нормам матриц соответственного возмущения можно так же судить о точности полученных результатов. Таким образом, вносимое Р или М возмущение снижает достоверность полученного результата. Довольно высокие значения ошибки матрицы  M при P возмущении и высокие значения ошибки матрицы Р при  M возмущении  подтверждают, что исследуемые матрицы плохо обусловлены (велико значение обратной матрицы системы). По сравнению с хорошо обусловленными матрицами у плохо обусловленных величина фактической ошибки растет заметно медленнее. Но итогом может служить тот факт, что внесения различных возмущений в матрицы систем как хорошо, так и плохо обусловленных влечет за собой резкое падение точности полученного результата (не удовлетворяется задаваемая точность).

8.Исследуем работоспособность различных формул оценки ошибки решения при наличие возмущения в левой части системы, (используем результаты, поученные в п.п. 6 и 7):

Для проведения данного исследования воспользуемся таблицами из п.п. 6 и 7: