Теорема существования корня. Поле рациональных дробей. Кольцо многочленов от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены

класса А, составленного из многочленов, дающих

S 491                                             ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ КОРНЯ                                                 зоз

при делении на Х (х) остаток ф (х), будет служить класс, составленный из многочленов, дающих при делении на f(x) остаток —9 (х). Отсюда вытекает, что в множестве классов выполнимо однозначное в ы ч и та ни е.

Для доказательства того, что в множестве классов выполнимо дел е ни е, нужно показать, что существует класс, играющий роль единицы, и что для всякого класса, отличного от нулевого, существует обратный класс, Единицей будет, очевидно, класс многочленов, дающих при делении на Г (х) остаток 1; этот класс назовем еДИНИЧНЫМ и будем обозначать символом Е.

Пусть теперь дан класс А, отличный от нулевого. Многочлен (х), выбранный в классе А в качестве представителя, не будет, следовательно, нацело делиться на Л (х), и поэтому, ввиду неприводимости многочлена f(x), эти два многочлена взаимно просты. В кольце Р [х] существуют, таким образом, многочлены и (х) и (х), удовлетворяющие равенству

откуда

                                                                               (6)

Правая часть равенства (6) при делении на Г (х) дает в остатке 1, т. е. принадлежит к единичному классу Е. Если класс, к которому принадлежит многочлен и (х), мы обозначим через В, то равенство (6) показывает, что

АВ = Е, откуда В = А— ¹ . Этим доказано существование обратного класса для всякого ненулевого класса, т. е. закончено доказательство того, что классы составляют поле.

Обозначим это поле через Р и покажем, что оно является расширением поля Р. Всякому элементу а поля Р соответствует класс, составленный из многочленов, дающих при делении на г (х) остаток а; сам элемент а, рассматриваемый как многочлен нулевой степени, принадлежит к этому классу. Все классы этого специального вида составляют в поле Р подполе, изоморфное полю Р. Действительно, взаимная однозначность соответствия очевидна; с другой стороны, в этих классах можно выбрать в качестве представителей элементы поля Р, а поэтому сумме (произведению) элементов из Р будет соответствовать сумма (произведение) соответствующих классов. В дальнейшем мы имеем право, следовательно, не различать элементы поля Р и соответствующие им классы.

Обозначим, наконец, через Х класс, составленный из многочленов, дающих при делении на f(x) остаток х. Этот класс является вполне определенным элементом поля Р, и мы хотим показать, что он служит корнем для многочлена л (х). Пусть

Х (Х)  . , . ап_1Х а п.

Обозначим через класс, соответствующий в указанном выше смысле элементу а; поля Р, 1, , п, и найдем, чему равен элемент

                               А1Х^П -1+ + Ап_1Х+Ап                           (7)

поля Р. Считая представителями классов 4.

а представителем класса Х—многочлен х и используя определение сложения и умножения классов, мы получаем, что в классе (7) содержится сам многочлен f(x). Однако f(x) нацело делится на самого себя, и поэтому класс (7) оказывается нулевым. Таким образом, заменяя в (7) классы соответствующими им элементами поля Р, мы получаем, что в поле Р имеет место равенство аоХ^П + а 1Х^П -1+ + ап_1Х+ О, т. е. класс Х действительно является корнем многочлена Г (х).

Этим заканчивается доказательство теоремы о существовании корня. Заметим, что, взяв за Р пОлс действительных чи сел и положи в  мы получим еще один с по соб постр о ения поля комплексных чи сел.

Из теоремы о существовании корня могут быть выведены следствия, аналогичные тем, которые выводились в S 24 из основной теоремы алгебры комплексных чисел. Сначала сделаем одно замечание. Так как всякий линейный множитель х—с многочлена г (х) неприводим, то он должен входить в то единственное разложение на неприводимые множители, которым обладает Г (х).

Число линейных множителей в разложении г (х) на неприводимые множители не может превосходить, однако, степени этого многочлена. Мы приходим к следующему результату:

Многочлен г (х) степени п жожет илеть в поле Р не более п корней, если Даже кажДый из корней считать столько раз, какова его кратность.

Назовем полем разложения для многочлена f(x) степени п над полем Р такое расширение Q поля Р, в котором для f(x) содержит ся п корней (считая кратные корни столько раз, какова их кратность). Над полем Q многочлен / (х) будет раскладываться, следовательно, на линейные множители, причем никакое дальнейшее расширение поля Q уже не может привести к появлению новых корней для Г (х).

для всякого многочлена Г (х) из кольца Р [х] существует над полем