Ранг произведения матриц. Сложение квадратных матриц и их умножение. Аксиоматическое построение теории определителей

Отсюда вытекает также, что всякая скалярная латрица перестаново ^зжа с любой матрицей А. Очень важно, что скалярные матрицы являются единственными, обладающими этим свойством:

Если некоторая латрица С— (си) п-го поряДка перестановочна с любой матрицей этого же поряДка, то латрица С скалярна.

В самом деле, положим i и рассмотрим равные между собой, по условию, произведения CEij и EijC (см. выше определение матрицы Eij). Легко видеть, что все столбцы матрицы СЕЧ, кроме ј-го, состоят из нулей, а ј-й столбец совпадает с i-M столбцом матрицы С; в частности, на пересечении i-ti строки и ј-го столбца матрицы СЕЧ стоит элемент Cii. Аналогично все строки матрицы EijC, кроме Ы, состоят из нулей, а ј-я строка совпадает с ј-й _строкой матрицы С; на пересечении Ј-й строки и ј-го столбца матрицы EijC расположен элемент сјј. Используя равенство СЕ =EijC, мы получаем, • что (как элементы, стоящие в равных между собой матрицах на одинаковых местах), т. е. все элементы главной диагонали матрицы С равны между собой. С другой стороны, на пересечении ј-й строки и ј-го столбца матрица CEij стоит элемент сл; но в матрице EijC на этом же месте стоит нуль (ввиду i+j), и поэтому сл = О, т. е. всякий элемент матрицы С, расположенный вне главной диагонали, равен нулю. Теорема доказана.

S 16*. Аксиоматическое построение теории определителей

Определитель П-го порядка является числом, однозначно определяемым данной квадратной матрицей п-го порядка. Определение этого понятия, приведенное в S 4, указывает правило, по которому определитель выражается через элементы заданной матрицы. Это конструктивное определение можно, однако, заменить аксиоматическим; можно, иными словами, среди свойств определителя, установленных в SS 4 и 6, указать такие, что единственной функцией матрицы с действительными значениями, обладающей этими свойствами, будет ее определитель.

Простейшее определение такого рода состоит в использовании разложений определителя по строке. Рассматриваем квадратные матрицы любых порядков и предполагаем, что всякой такой матрице М поставлено в соответствие число dM, причем выполняются следующие условия:

1)  Если матрица М первого порядка, т. е. состоит из одного элемента а, то dM

2)  Если первую строку матрицы 71-го порядка М составляют элементы ' аи, 012, и если через, Mi 2 п, обозначена матрица (п— 1)-го порядка, остающаяся после вычеркивания из М первой строки и Ьго столбца, то

              dM—a 11 dм,— ^а 12412 ++             —101 dM

ТогДа для всякой матрицы М ЧИсЛО фи равно опреДелителю этой матрицы. Мы предоётавляем читателю доказательство этого утверждения, проводящееся индукцией по п и использующее результаты S 6.

Много более интересны другие формы аксиоматического определения определителя, относящиеся к случаю лишь одного данного порядка п и имеющие в своей основе некоторые из установленных в S 4 простейших свойств определителя. Мы приступим сейчас к рассмотрению одного из таких определений.

Пусть всякой квадратной матрице М п-го порядка поставлено в соответствие число dM, причем выполняются следующие условия: 1, Если оДна из строк ЈПТРИЦЫ М умножается на число К, то ЧИСЛО dM также умножается на К.

П. ЧИСЛО dM не леняется, если к одной из строк матрицы М прибавляется Другая строка этой матрицы.

         Ш. Если Е—еДиничная матрица, то            1.      

Докажем, что для любой матрицы М чтсло dM равно опреДелителю этой матрицы.

Выведем сначала из условий l—lIl некоторые свойства числа dM, аналогичные соответствующим свойствам определителя.

(1)  Если одна из строк латрицы М состоит из нулей, то

В самом деле, умножая строку, состоящую из нулей, на число О, мы не медяем матрицу, но, ввиду условия 1, число dM приобретает множитель 0, Поэтому

(2)  Число .dM не меняется, если к [-й строке матрицы М прибавляется ее ј-я строка, j+i, умноженная на число К.

Если то все доказано. Если же К +0, то умножаем ј-ю строку на К и получаем матрицу М“, для которой, ввиду условия 1,

 Затем к i-it строке матрицы М ' прибавляем ее ј-ю строку и получаем матрицу М“, причем, ввиду условия Н,

Наконец, умножаем ј-ю строку матрицы М“ на число К —1 . Мы приходим к матрице М“ ”, которая в действительности получена из М преобразованием, указанным в формулировке доказываемого свойства, причем

(З) Если строки матрицы М линейно зависимы, то ам— О. Действительно, если одна из строк, например Й, будет линейной комбинацией других строк, то, применяя несколько раз преобразование (2), можно i-10 строку заменить строкой из нулей. Преобразование (2) не меняет числа дм, а поэтому ввиду свойства