Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение уравнения по методу Эйлера

ПРИМЕР 5

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Постановка задачи

Дано дифференциальное уравнение . Необходимо найти его решение методами Эйлера, усовершенствованным Эйлера, модифицированным Эйлера и Рунге-Кутта четвертого порядка при заданных начальных условиях y(x₀)=y₀ на заданном промежутке интегрирования [x_НАЧ,х_КОН] с шагом, вычисленным по формуле: h=(x_КОН-х_НАЧ)/20.

В качестве результата требуется сформировать таблицу, содержащую следующие графы:

1)  значения аргумента х;

2)  решение, полученное методом Эйлера;

3)  решение, полученное усовершенствованным методом Эйлера;

4)  решение, полученное модифицированным методом Эйлера;

5)  решение, полученное методом Рунге-Кутта 4-го порядка;

6)  ошибка метода Эйлера по сравнению с методом Рунге-Кутта.

Пример выполнения работы

Порядок выполнения работы поясним на конкретном примере. Создадим электронную таблицу для решения дифференциального уравнения  при начальных условиях y(0)=1 на промежутке [0, 0.7].

Общее решение данного уравнения имеет следующий аналитический вид: y=tg(x+C)-x.

Введем заголовки таблицы и исходные данные:

A1¬’РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

A2¬’Начальные условия:                  D2¬’Xo=   E2¬0   F2¬’Yo=   G2¬1

 I 2¬’Уравнение: y’=(x+y)^2

A3¬’Промежуток интегрирования:     D3¬’Хн=   E3¬0   F3¬’Хк=   G3¬0,77

A4¬’Шаг интегрирования:                  D4¬’H=     E4¬=(G3-E3)/20   

Построим таблицу изменения аргумента Х:

A5¬’Х   A6¬=E3  A7¬=A6+$E$4 .  Копируем А7 в А8:А26 .

Построим таблицу решения уравнения по методу Эйлера:

B5¬’Эйлер  B6¬=G2   B7¬=B6+$E$4*(A6+B6)^2 .  Копируем B7 в B8:B26 .

Построим таблицу решения уравнения по усовершенствованному методу Эйлера:

C5¬’Эйл.ус.  С6¬=G2   С7¬=C6+0,5*$E$4*((A6+C6)^2+(A7+C6+$E$4*(A6+C6)^2)^2) . 

Копируем С7 в С8:С26 .

Построим таблицу решения уравнения по модифицированному методу Эйлера:

D5¬’Эйл.мод.  D6¬=G2   D7¬=D6+$E$4*(A6+0,5*$E$4+D6+$E$4/2*(A6+D6)^2)^2 . 

Копируем D7 в D8:D26 .

Построим таблицу решения уравнения по методу Рунге-Кутта 4 порядка:

E5¬’K0   F5¬’K1   G5¬’K2   H5¬’K3    I 5¬’РунгеКутт   I 6¬=G2  

E7¬=$E$4*(A6+I6)^2   F7¬=$E$4*(A6+0,5*$E$4+I6+0,5*E7)^2   G7¬=$E$4*(A6+0,5*$E$4+I6+0,5*F7)^2   H7¬=$E$4*(A6+$E$4+I6+G7)^2 

 I 7¬=I6+(E7+2*F7+2*G7+H7)/6  

Копируем E7: I 7 в E8: I 26 .

Построим таблицу ошибок метода Эйлера по сравнению с методом Рунге-Кутта на каждом шаге интегрирования:

J5¬’Ош.ЭЙЛ   J6¬=ABS(J6-I6) .  Копируем J6 в J7:J26 .

Построим совместные графики «метод Эйлера– метод Рунге-Кутта».

Электронная таблица, полученная в соответствии с приведенным выше примером