Экономико-математическое моделирование. Построение модели. Принципы и шаги, используемые в построении модели

Дисциплина: Экономико – математическое моделирование ...

Введение

“Существуют два пути повышения эффек­тивной работы цеха, предприятия и целой отрасли промышленности:

1.  Различные улучшения в технике;

2.  Улучшение организации производства и планирования (распределение работ между отдельными станками предпри­ятия, распределение различных видов сы­рья и ресурсов)”.

Л.В. Канторович

Если в исследуемой производственной системе обнаруживается структура, которая может быть математически описана (математическая модель), и если она может также быть количест­венно выражена, то в этом случае  можно использовать тот или иной вычислительный метод для выбора из всех возможных альтернатив, лучшего плана действий. Такое использование матема­тических моделей называется математическим программированием.

Установление того, что многие экономические и производственные задачи могут быть мате­матически описаны (хотя бы приближенно) системами линейных неравенств и уравнений, привело к интенсивному развитию линейного программирования.

Если задача принятия решения требует минимизации линейной формы при наличии ограни­чений в виде линейных неравенств, то она называется задачей линейного программирования.

построение модели

Основные понятия

Предположим, что изучаемая система, которая может либо существовать действительно, либо лишь в проекте, представляет собой комплекс машин, людей, вспомогательного оборудова­ния и сырья. Она должна производить определенные виды продуктов.

Основанный на линейном программировании подход состоит в том, чтобы рассматривать систему в виде совокупности нескольких элементарных функций, называется технологическими процессами.

Технологический процесс мыслится здесь как “черный ящик” для которого на вход подаются материальные ресурсы (люди, сырье, оборудование), а на выходе оказываются продукты про­мышленного производства. Лицо, формирующее задачу, интересует в этом технологическом про­цессе только величины затрат и выпуска. Различные виды затрат и выпуска называются ингреди­ентами. Количественный показатель использования каждого технологического процесса называ­ется его интенсивностью. Для ее изменения необходимо изменять его затраты и выпуск.

В модели линейного программирования используются предположения:

1.  Пропорциональность  —  величины затрат и выпуска различных ингредиентов техноло­гического процесса всегда пропорциональны его интенсивности. Если мы хотим осуще­ствить процесс с двойной интенсивностью, то надо удвоить все затраты, соответствую­щи­е единичной интенсивности. Это характеристическое свойство модели линейного программирования называется условием пропорциональности.

2.  Не отрицательность. В то время как допускаются любые положительные кратные не­которых технологических процессов, отрицательные их интенсивности невозможны. Это характеристическое свойство переменных моделей линейного программирования из­вестно как условие не отрицательности.

3.  Аддитивность. Аддитивные величины  —  величины, связанные с геометрическими или физическими объектами так, что величина, соответствующая целому объекту, всегда равна сумме величин, соответствующих его частей, каким бы образом объект не разби­вали на части. В модели линейного программирования требуется, чтобы общее количество каждого ингредиента определяемого системой как целым, было суммой количеств, поступающих в различные технологические процессы, минус сумма количеств, выходящих из них. Таким образом, в нашей абстрактной системе каждый ингредиент характеризуется уравнением материального баланса, различные члены которого представляют собой затраты или выпуск различных технологических процессов.

4.  Линейная целевая функция. Один из ингредиентов системы рассматривается как ценностный в том смысле, что общее его количество, произведенное системой измеряет ее выигрыш. Этим ингредиентом может оказаться квалифицированный труд, завершенные агрегаты, используемые дефицитные ресурсы. Вклад каждого технологического процесса в общий выигрыш есть количество ценностного ингредиента, который потребляется (выпускается) в этом технологическом процессе. Таким образом, если цель состоит в том, чтобы максимизировать доход, то технологический процесс который требует денег вносит отрицательную величину, а который приносит деньги - положительную. Эта черта модели линейного программирования называется условием линейности целевой функции.

Построение модели

Математическая модель системы представляет собой совокупность соотношений, которые определяют ДОПУСТИМЫЕ в модели планы. Под допустимыми планами понимаются такие, которые могут быть осуществлены при соблюдении ограничений системы.

Построение математической модели часто дает возможность столь глубокого проникновения в систему и получения сведений о ней, что его можно рассматривать как более важную задачу, чем задача математического программирования, которому оно предшествует.

Принципы и шаги, используемые в построении модели

Схема этого процесса основана на предположениях, описанных выше.

Шаг 1. Определить множество технологических процессов, представляющих все элементарные функции системы и для каждого из них выбрать единицу, которой можно измерить его объем или интенсивность.

Шаг 2. Определить систему ингредиентов, которые потребляются или производятся технологическими процессоми и выбрать единицу измерения для каждого из них. Выбрать один ингредиент так, чтобы чистое количество его произведенное всей системой измеряло “затраты” или так, чтобы это количество со знаком “ – “  измеряло “доход” всей системы. Этим ингредиентом могут быть стоимость в денежных единицах, трудовые затраты в чел*час или любой другой дефицитный ресурс.

Шаг 3. Определить коэффициенты затрат–выпуска, то есть количество каждого ингредиента, потребляемого или произведенного при использовании каждого технологического процесса в условиях его единичной интенсивности. Эти числа представляют собой коэффициенты пропорциональности, связывающие интенсивности производственных процессов и потоки ингредиентов.

Шаг 4. Определить экзогенные потоки, то есть чистые затраты или выпуски ингредиентов между системой, рассматриваемой как целое, и внешним миром.

Шаг 5. Составить уравнения материального баланса. Всем технологическим процессам приписать неизвестные неотрицательные интенсивности, обозначив их X₁, X₂, ..., X_n. Затем для каждого ингредиента выписать уравнение материального баланса, которое утверждает, что алгебраическая сумма расходов этого ингредиента в каждом технологическом процессе, выраженных в виде произведения его интенсивностей на соответствующий коэффициент затрат выпуска, равна экзогенному потоку этого ингредиента.

Таким образом, в результате построения модели получается совокупность математических соотношений, описывающих все допустимые планы системы. Эта совокупность и есть модель линейного программирования.