Система двух дискретных случайных величин. Функция распределения системы и ее свойства. Системы двух случайных величин. Плотность системы

Страницы работы

Содержание работы

1.  Система двух дискретных случайных величин.

Рассмотрим систему двух дискретных случайных величин (X,Y) . Пусть X принимает n значений x1, x2…….,xn , а Y принимает k значений y1,y2,…..yk. Закон распределения системы (X,Y) представлен в табл. 1 в шести первых строчках и столбцах. При этом приняты обозначения – pi,j – вероятность совместного появления событий X=xi и Y=yj, т.е., pi,j = P (X=xi & Y=yj).                                                (1.1)

Знак  &  обозначает «и», т.е. произведение событий.

Таблица 1

X/Y

y1

…………..

yj

………….

yk

Px

x1

p1,1

………….

p1,j

………….

pk,j

P

…………

………….

…………..

…………..

………….

…………..

…………..

xi

pi,1

………….

pi,j

…………...

pi,k

P

…………..

…………..

…………..

…………..

………….

…………..

…………..

xn

pn,1

…………..

pn,j

………….

pn,k

P

Py

Py1

…………..

Pyi

……………

Pyk

1

Фактически законом распределения системы являются только первые шесть строк и столбцов табл. 1

Пример 1 . В урне 10 шаров. На трех шарах написана дробь 1/2, на двух – 1/3, на четырех – 2/2  и на одном – 2/3. Случайная величина X – значение числителя, Y – значение знаменателя. Тогда закон распределения системы (X,Y) имеет вид

Таблица П1

X/Y

2

3

1

0,3

0,2

2

0,4

0,1

Событие X=xi можно представить в виде суммы попарно несовместимых событий:

(X=xi)=((X=xi & Y=y1) или (X=xi &Y=y2), …., или (X=xi &Y=yk)).

Поэтому

P(X=xi) =Pxi=                       (1.2)

т.е. вероятность события (X=xi) есть сумма вероятностей i-й строки.

Аналогично определяется и вероятность P(Y=yj) = Pyj  как сумма вероятностей j-столбца.

Эти вероятности вносятся в седьмые строку и столбец таблицы 1 . Первый и седьмой столбцы определяют закон распределения случайной величины X, взятой отдельно, а первая и седьмая строки – закон распределения случайной величины Y.

Очевидно

==                                                  (1.3)

Пример 1 (продолжение). Найдем вероятности Pxi и Pyj.

P(X=1) = 0,3 + 0,2 = 0,5; P(X=2)= 0,4 + 0,1=0,5;

P(Y=2) = 0,3 + 0,4 = 0,7; P(Y=3)=0,2 + 0,1 =0,3

                                                                                                                                                                                               Таблица П1

X/Y

2

3

Pxi

1

0,3

0,2

0,5

2

0,4

0,1

0,5

0,7

0,3

1

Из теоремы умножения вероятностей следует, что

Pi,j=P(X=xi & Y=yj) = P(X=xi)P(Y=yj/X=xi)=Pxi   Pyj/xi

Отсюда    

Pyj/xi=                                                           (1.4)

где  Pyj/xi – условная вероятность события Y=yj при условии, что  X=xi.

Аналогично определяется и условная вероятность P(X=xi/Y=yj) = Pxi/yj.

Условные вероятности определяют условные законы распределения. Обозначим X/yj cлучайную величину X при условии, что Y=yj. Условные распределения приведены в таблице 2 и 3 .

Таблица 2

X/yj

x1

L

xi

L

xn

P

L

L

Таблица 3

Y/xi

y1

L

yj

L

yk

P

L

L

Условным законам распределения соответствуют условные математические ожидания и условные дисперсии

М(X/yj) =                              (1.5)

D(X/yj) =                             (1.6)

По аналогичным формулам находятся и условные математические ожидания и дисперсии случайной величины Y. Можно использовать для нахождения дисперсии ее свойство.

D (Y/xi) =                                  (1.7)

Пример 1 (продолжение). Найдем условные математическое ожидание и дисперсию случайной величины (Y/X=1)

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
198 Kb
Скачали:
0