Система двух дискретных случайных величин. Функция распределения системы и ее свойства. Системы двух случайных величин. Плотность системы

1.  Система двух дискретных случайных величин.

Рассмотрим систему двух дискретных случайных величин (X,Y) . Пусть X принимает n значений x₁, x₂…….,x_n , а Y принимает k значений y₁,y₂,…..y_k. Закон распределения системы (X,Y) представлен в табл. 1 в шести первых строчках и столбцах. При этом приняты обозначения – p_i,j – вероятность совместного появления событий X=x_i и Y=y_j, т.е., p_i,j = P (X=x_i & Y=y_j).                                                (1.1)

Знак  &  обозначает «и», т.е. произведение событий.

Таблица 1

Фактически законом распределения системы являются только первые шесть строк и столбцов табл. 1

Пример 1 . В урне 10 шаров. На трех шарах написана дробь 1/2, на двух – 1/3, на четырех – 2/2  и на одном – 2/3. Случайная величина X – значение числителя, Y – значение знаменателя. Тогда закон распределения системы (X,Y) имеет вид

Таблица П1

Событие X=x_i можно представить в виде суммы попарно несовместимых событий:

(X=x_i)=((X=x_i & Y=y₁) или (X=x_i &Y=y₂), …., или (X=x_i &Y=y_k)).

Поэтому

P(X=x_i) =P_xi=                       (1.2)

т.е. вероятность события (X=x_i) есть сумма вероятностей i-й строки.

Аналогично определяется и вероятность P(Y=y_j) = Pyj  как сумма вероятностей j-столбца.

Эти вероятности вносятся в седьмые строку и столбец таблицы 1 . Первый и седьмой столбцы определяют закон распределения случайной величины X, взятой отдельно, а первая и седьмая строки – закон распределения случайной величины Y.

Очевидно

==                                                  (1.3)

Пример 1 (продолжение). Найдем вероятности P_xi и P_yj.

P(X=1) = 0,3 + 0,2 = 0,5; P(X=2)= 0,4 + 0,1=0,5;

P(Y=2) = 0,3 + 0,4 = 0,7; P(Y=3)=0,2 + 0,1 =0,3

                                                                                                                                                                                               Таблица П1

Из теоремы умножения вероятностей следует, что

P_i,j=P(X=x_i & Y=y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j/X=x_i)=P_xi   Py_j/_xi

Отсюда    

Py_j/_xi=                                                           (1.4)

где  P_yj/xi – условная вероятность события Y=y_j при условии, что  X=x_i.

Аналогично определяется и условная вероятность P(X=x_i/Y=y_j) = Px_i/y_j.

Условные вероятности определяют условные законы распределения. Обозначим X/y_j cлучайную величину X при условии, что Y=y_j. Условные распределения приведены в таблице 2 и 3 .

Таблица 2

Таблица 3

Условным законам распределения соответствуют условные математические ожидания и условные дисперсии

М(X/y_j) =                              (1.5)

D(X/y_j) =                             (1.6)

По аналогичным формулам находятся и условные математические ожидания и дисперсии случайной величины Y. Можно использовать для нахождения дисперсии ее свойство.

D (Y/x_i) =                                  (1.7)

Пример 1 (продолжение). Найдем условные математическое ожидание и дисперсию случайной величины (Y/X=1)