Множественный коэффициент корреляции. Формулы для вычисления множественных коэффициентов корреляции для системы трех случайных величин

  Очевидно, что матрица (12.40 является симметричной, так как  Коэффициенты корреляции, составляющие эту матрицу,  характеризуют тесноту линейной связи между двумя величинами, входящими в систему, без учета  возможного влияния  на эту связь остальных n-2 величин, их влияние  просто игнорируется.  Поэтому коэффициенты корреляции  называются парными, а матрица (1.4) – матрицей парных коэффициентов корреляции. Естественно, что все свойства коэффициентов корреляции, перечисленные выше, остаются в силе, но подчеркнем еще раз, парные коэффициенты корреляции учитывают не чистую линейную связь между двумя величинами, а как бы смешанную с влиянием на эту пару других величин системы (13.1). Встает задача»очистить» коэффициенты корреляции от этого влияния. Для этого рассмотрим систему n-1 случайных величин

которая получается из системы (12.1) исключением X_i.

Найдем по методу наименьших квадратов приближение X_j  как линейной функции остальных n-2 случайных величин системы (13.5) т.е.

Здесь знак суммирования означает, что сумма находится для всех    X_k, кроме X_{j  и}  X_j, т. е. если, например_,i<j, то

Коэффициенты регрессии α_k находятся в соответствии с (9.2)  как координаты точки минимума функции

Аналогично,  исключив из системы (13.1) X_j , найдем приближение Xj как линейной функции остальных  n-2  величин

X^*₁=β₀+_kX_k                                                                                                 (13.8)      

      Теперь найдем остатки величин X_i   и X_j

Z_i(j)=X_i-X^*_I,                                                                                                  (13.9  

                                           Z_j(i)=X_j-X^*_j.                                                            (13.10)

     Это остатки после исключения линейного влияния n-2 величин.

     Определение 1. Коэффициент корреляции между остатками называется частным коэффициентом корреляции между самими величинами. Он обозначается p_ij,

p_ij=p(X_i,X_j)=r(Z_i(j),Z_j(i)).                                             (13.11)

     Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линей связи между двумя случайными величинами системы после исключения линейного влияния остальных величин, входящих в эту систему. Частные коэффициенты корреляции обладают всеми 10-ю свойствами коэффициентов корреляции. Можно доказать, что частные коэффициенты корреляции выражаются через парные формулой

где R_i,j , R_i,i , R_j,j – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы R (13.14). Естественно положить при I=jp_i,j=1. Тогда частные коэффициенты тоже образуют симметричную матрицу

                                                   .                                        

           Рассмотрим для примера систему трех случайных величин, имеющих матрицу парных коэффициентов корреляции R, причем сразу учтем ее симметричность

            Найдем алгебраические дополнения элементов r_1.2 , r_1.1 и r_2.2  этой матрицы

             тогда на основании (13,12) получим

,

            и, аналогично в силу симметричности можно написать

           Вернемся  к рассмотрению системы (13,1) и найдем методом наименьших квадратов приближение X_i  в виде линейной функции остальных случайных величин этой системы. Для этого минимизируем выражение

           Найдя значения , обеспечивающие минимум этого выражения, мы получим приближение X_i в виде линейной функции остальных случайных величин системы (13,1)

X^$_i                                                         

Коэффициент корреляции между  и величиной (13,14) называется множественным ил суммарным коэффициентом корреляции. Он обозначается r_i  ,                           X^$_i), (i=IKn).                                                    (13.15)

       Аналогично частным коэффициентам корреляции множественные коэффициенты корреляции тоже могут быть выражены через парные

                                                             ,                                                         

        где - определитель матрицы R (12.4);

         – алгебраическое дополнение элемента r_i,i этой матрицы.

Множественные коэффициенты составляют неслучайный вектор.

                              (                                                        (13.17)

        Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между одной из случайных величин и всеми остальными в совокупности. Его значение не меньше нуля, т.е. p₁0, поэтому не все свойства коэффициентов корреляции справедливы для него. Так, если p_i =0,  то X_i некоррелирована с остальными случайными величинами системы. Если же p_i=1, то X_i является линейной функцией остальных случайных величин системы. В случае же, если 0<<1, то между и остальными случайными величинами системы существует корреляционная связь, причем d_i= 100p² показывает какой процент вариации X_i вызван линейным влиянием остальных случайных величин в совокупности.

         Найдем формулы для вычисления множественных коэффициентов корреляции для системы трех случайных величин.

         Учитывая, что R_1.1=1-r²_2.3, по формуле (13.16) получим

Аналогично

         Пример 5. Рассмотрим систему трех случайных величин, которая характеризуется матрицей парных коэффициентов корреляции

которая по парным коэффициентам корреляции имеет некоррелированные величины X₁ и X₃. Найдем частные коэффициенты корреляции