Транспортная задача
Пусть имеется два завода : первый и второй
и три склада : А, В и С.
Наличие ящиков с продукцией на заводах и потребности на складах приведено в табл.1.
Таблица 1
Наличие |
Потребности |
Первый завод “1” — имеет 350 ящиков |
склад “А” — 300 ящиков |
склад “В” — 300 ящиков |
|
Второй завод “2” — имеет 650 ящиков |
склад “С” — 300 ящиков |
Итого 1000 ящиков |
Итого 900 ящиков |
Излишки производства (100 ящиков) должны оставаться на месте.
Стоимости перевозки в денежных единицах (ДЕ) каждого ящика от любого завода до любого склада приведены в таблице 2.
Таблица 2
Заводы |
Склады |
||
“А” |
“В” |
“С” |
|
Первый - “1” |
2,5 |
1,7 |
1,8 |
Второй - “2” |
2,5 |
1,8 |
1,4 |
Задача состоит в том, чтобы определить число ящиков, которое нужно перевести с каждого завода на каждый склад для минимизации транспортных расчетов.
Построение модели начнем с технологического процесса, состоящего в перевозке с первого завода на первый склад.
Схема 1. Схема транспортного технологического процесса
Перевозка ящиков с первого завода на склад А показана на схеме 1. В качестве затрат она требует двух ингредиентов: одного ящика на заводе 1 и 2,5 ДЕ расходов.
В качестве выпуска она производит один ингредиент: один ящик на складе А. Основное предположение состоит в том, что Х ящиков, которые должны быть отправлены из 1 в А потребуют в качестве затрат 1Х ящиков и 2,5Х - расходов. В качестве выпуска 1Х ящиков на складе А.
В рассматриваемом случае выпуск есть аналогичный ингредиент, но в другом месте. Можно также хранить продукцию на заводах, что приводит к технологическому процессу, состоящему в хранении.
Схема 2.
Сходство технологических процессов описанных на схемах 1 и 2 состоит в том, что перевозка есть преобразования в пространстве, а хранение — преобразование во времени.
В виду того, что в нашей конкретной задаче мы не будем рассматривать ни выпуск в более поздние моменты времени (хранение), ни приписывая стоимость хранению процессы хранения на заводах 1 и 2 примут вид:
Схема 3.
Шаг 1. Начнем с составления списка восьми возможных процессов перевозки и хранения. В качестве единицы измерения перевозки или хранения выберем 1 ящик.
Перечень технологических процессов
1. Перевозка от 1 до А
2. Перевозка от 1 до В
3. Перевозка от 1 до С
4. Перевозка от 2 до А
5. Перевозка от 2 до В
6. Перевозка от 2 до С
7. Хранение излишков в 1
8. Хранение излишков в 2
Шаг 2. Можно было бы полагать, что кроме стоимостей имеется еще только один вид ингредиента (ящик), но экономисты указывают, что аналогичный ингредиент в разных местах или в разные моменты времени является в сущности различными ингредиентами. В этой задаче мы игнорируем изменение во времени и сосредоточимся только на перемещениях из одних мест в другие. Согласно этому получится список из 6 ингредиентов, отражающих два завода, три склада и ингредиенты стоимости (деньги).
Перечень ингредиентов
1. Ящик в 1
2. Ящик в 2
3. Ящик в А
4. Ящик в В
5. Ящик в С
6. Стоимость перевозки в ДЕ
Шаг 3. При выписывании коэффициентов затрат– выпуска в модели будет использоваться следующее соглашение о знаке коэффициента. Затраты будут считаться положительными, а выпуск — отрицательными.
Схема 4. |
Коэффициент затрат выпуска для каждого технологического процесса представим в виде таблицы 3.
Таблица 3
Ингредиенты |
Технологические процессы |
|||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1. Ящики в 1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
||||
2. Ящики в 2 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
||||
3. Ящики в А |
-1 |
-1 |
||||||
4. Ящики в В |
-1 |
-1 |
||||||
5. Ящики в С |
-1 |
-1 |
||||||
6. Стоимости в ДЕ |
+2,5 |
+1,7 |
+1,8 |
+2,5 |
+1,8 |
+1,4 |
Каждому технологическому процессу в этой таблице соответствует вертикальный столбец, а каждому ингредиенту — горизонтальная строка. На их пересечении помещен коэффициент затрат–выпуска со знаком того ингредиента, который требуется единичной интенсивностью технологического процесса. Таким образом, технологический процесс 4, примененый с единичной интенсивностью для перевозки одного ящика из 2 в А имеет в качестве затрат один ящик в 2 (коэффициент затрат выпуска +1 в строке 2 ,столбец 4) и 2,5 ДЕ (коэффициент затрат выпуска +2,5 в строке 6, столбец 4). В качестве выпуска он имеет один ящик в А (коэффициент затрат выпуска -1 в строке 3, столбец 4).
Шаг 4. Экзогенные (внешние) потоки, поступающие в систему и требуемые от системы как целого, показаны на схеме 5. Денежные затраты, как экзогенный поток, пока неопределенны и будут обозначаться через Z. Они должны быть как можно меньше.
Экзогенные потоки
Схема 5.
Полезно выписать эти экзогенные потоки в столбец, упорядоченный по ингредиентам, где должно использоваться тоже самое соглашение о знаках, которое принято относительно потоков в каждый технологический процесс внутри системы. Так как алгебраическая сумма потока по всем технологическим процессам будет приравнена к экзогенным потокам, образуя уравнения материального баланса.
Таблица 4
№ |
Ингредиент |
Экзогенные потоки |
||||
1 |
Ящики в 1 |
350 Затраты, поступающие в систему |
||||
2 |
Ящики в 2 |
650 Затраты, поступающие в систему |
||||
3 |
Ящики в А |
300 Выпуски, требуемые от системы |
||||
4 |
Ящики в В |
300 Выпуски, требуемые от системы |
||||
5 |
Ящики в С |
300 Выпуски, требуемые от системы |
||||
6 |
Стоимость в ДЕ |
Z Минимальные затраты, поступающие в систему |
||||
Шаг 5. Сопоставим каждому из технологических процессов 1,2,...,8 неизвестную и подлежащую определению величину, которая представляет собой интенсивность этого технологического процесса:
Х1, Х2,...,Х8.
Используя табл. 3 легко записать уравнения материального баланса для системы по каждому ингредиенту.
Для ингредиента 1 (ящики в 1) технологические процессы, потребляющие его есть 1,2,3, и 7. Ввиду того, что коэффициенты затрат выпуска связанные с ингредиентом 1 все равны ”+1”, чистый поток этого ингредиента:
Этот поток должен быть равен экзогенному потоку в систему первого ингредиента, который равен 350. В результате первое уравнение материального баланса принимает вид:
Аналогично для второго ингредиента:
Для третьего ингредиента
Для четвертого ингредиента
Для пятого ингредиента
Наконец, поток в системе шестого ингредиента:
Приведем это выражение к виду уравнения материального баланса, приравнивая этот поток к неопределенным денежным затратам Z.
Z надо минимизировать.
Если это объединить в систему, то получим модель в форме уравнений. Модель в табличной форме имеет вид табл. 5
.
Таблица 5
Ингредиенты |
Технологические процессы |
Экзогенные |
|||||||
1 Х1 |
2 Х2 |
3 Х3 |
4 Х4 |
5 Х5 |
6 Х6 |
7 Х7 |
8 Х8 |
потоки |
|
Ящики в 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
350 |
||||
Ящики в 2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
650 |
||||
Ящики в А |
-1 |
-1 |
-300 |
||||||
Ящики в В |
-1 |
-1 |
-300 |
||||||
Ящики в С |
-1 |
-1 |
-300 |
||||||
Стоимости, ДЕ |
2,5 |
1,7 |
1,8 |
2,5 |
1,8 |
1,4 |
Z (min) |
Задача состоит в том, чтобы определить интенсивности технологического процесса Х1, Х2,...,Х8, которые:
— неотрицательны ;
— удовлетворяют уравнениям материального баланса;
— минимизируют величину Z - Z (min).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.