Расчет рекурсивного цифрового фильтра. Проверка правильности расчета передаточной функции аналогового фильтра-прототипа, страница 2

Полосы пропускания и задерживания разделены переходной полосой, в которой поведение АЧХ не нормируется.

На практике, как правило, вместо ε_п и ε_з задаются логарифмические величины ΔА_max и A_min заданные в децибелах, где:

ε_п = 1 – 10^{-0,05 ΔАmax}

ε = 10^{-0,05 Аmin}

Рисунок 1.3 – Требования к характеристике ослабления ФВЧ

Требования к ФЧХ. Во многих случаях формулируются требования к ФЧХ цифровых фильтров. Фильтры с точно линейной ФЧХ имеют постоянное групповое время замедления (ГВз)  и не искажают форму сигнала, спектр которого находится в полосе пропускания.

КИХ – фильтры при определенных условиях могут иметь точно линейную ФЧХ.

БИХ – фильтры не могут иметь точно линейную ФЧХ, они могут иметь только приближенно линейную ФЧХ.

2. Методы проектирования рекурсивных фильтров

Задача проектирования БИХ-фильтров является достаточно многоэтапной и сложной, причем отдельные этапы проектирования могут быть решены только с помощью компьютера.

Вначале нужно решить аппроксимационную задачу, т.е. определить коэффициенты a_i и b_m передаточной функции Н(z) по заданным требованиям к характеристикам фильтра. Затем следует выбрать структуру фильтра и рассчитать разрядность входного сигнала, коэффициентов передаточной функции и внутренних кодов фильтра. Теперь, имея все необходимые параметры необходимо проверить соответствие полученного фильтра поставленным перед проектированием требованиям. Этот этап можно выполнить с помощью моделирования фильтра на компьютере. Завершающим этапом является разработка функциональной схемы и его схемотехническая реализация.

Как известно, передаточная функция РЦФ Н(z) задается выражением:

Тогда общей задачей проектирования рекурсивного фильтра является определение коэффициентов a_i и b_m т.о., чтобы выполнялось требование к фильтру. Известен целый ряд методов решения аппроксимационных задач.

Наибольшее распространение получили два метода: метод инвариантности импульсных характеристик и метод билинейного преобразования.

2.1. Метод инвариантности импульсных характеристик

Данный метод основан на подобии (инвариантности или неизменности) импульсной характеристики аналогового фильтра – прототипа и полученной из нее путем дискретизации импульсной характеристики ЦФ.

Данный метод синтеза осуществляется путем применения прямого Z-преобразования к импульсной характеристике и вычислений системной функции Н(z). Для приведенного примера {h(n)} представляет собой бесконечный ряд:

Выполнив Z-преобразование данной импульсной характеристики, получим:

Таким образом, функция определяет рекурсивный ЦФ 1-го порядка, содержащий масштабный блок, элемент задержки и сумматор.

Из этого соотношения путем подстановки z = e^-jωT  находим частотный коэффициент передачи цепи:

2.2. Метод инвариантности частотных характеристик (метод билинейного преобразования)

Для расчета избирательных БИХ-фильтров со стандартными характеристиками наиболее простым и широко используемым является метод билинейного преобразования. С помощью этого метода передаточная функция Н(р) аналогового фильтра преобразуется в передаточную функцию Н(z) цифрового БИХ-фильтра. Достоинством данного метода является то, что передаточная функция цифрового фильтра определяется с помощью простых формул из передаточной функции аналоговых фильтров, для которых существуют подробные таблицы и справочники. Это позволяет решать аппроксимационную задачу без использования компьютера.

Достоинство этого метода заключается также в том, что данный метод обеспечивает построение такого БИХ-фильтра, выходной сигнал которого приближенно совпадает с выходным сигналом аналогового фильтра-прототипа при одинаковых произвольных входных сигналах.

При билинейном преобразовании для ФВЧ используют замену переменной вида: