Решение нелинейной краевой задачи методом конечных разностей. Метод конечных разностей. Метод Ньютона

Московский Авиационный Институт

Курсовая работа

по курсу дифференциальных уравнений на тему:

«Решение нелинейной краевой задачи методом конечных разностей»

Выполнил:

Проверил:

Оценка:

Москва 2003

Задание (№29).

Задача:       

Решить данную краевую задачу методом конечных разностей. Расчет провести с шагами 0,1; 0,01 и 0,001. Для решения системы разностных уравнений использовать метод Ньютона. Представить полученные приближенные решения таблично и графически.

Теория.

Метод конечных разностей.

Пусть дано:        (1)

При этом:

1)  функции a и g непрерывно дифференцируемы на  и  соответственно;

2)     при всех ,  (*)

Введем узлы , где  - заданный шаг, а также  . Положим ,  и заменим правые производные центральными разностями , , а дифференциальное выражение  - на разностное выражение вида:

Воспользуемся последней разностной аппроксимацией для левой части ДУ (1), получим:

,    (2)

Из краевых условий (1) получаем краевые соотношения     (3)

Система уравнений (2), (3) является нелинейной системой из (n+1)-го алгебраического (конечного) уравнения относительно (n+1)-й неизвестных величин . Эта система имеет вид: , где , (4)

 (5)

Система нелинейных уравнений (4) может быть решена методом Ньютона.

Метод Ньютона.

Пусть  - матрица Якоби отображения . Тогда k-я итерация метода Ньютона (k=1, 2, … ) состоит из двух шагов:

1)  Решить относительно  систему линейных алгебраических уравнений

, где ,  -известный на k-ом шаге вектор.

2)  Положить

В качестве начального приближения можно брать вектор . Из условий (*) следует, что рассматриваемая система нелинейных уравнений имеет единственное решение. Из формулы (5) следует, что  при , т.е матрица Якоби  является диагональной. Следовательно, матрица  - трехдиагональная.

Решение задачи

При h=0,1

x	v
0,1	0,847793647
0,2	0,710596121
0,3	0,587013555
0,4	0,475619051
0,5	0,37509955
0,6	0,284297992
0,7	0,202209319
0,8	0,127959756
0,9	0,060783137

При h=0,01

x	v
0,1	0,847836668
0,2	0,710641151
0,3	0,587047121
0,4	0,475639703
0,5	0,375110164
0,6	0,284302241
0,7	0,202210271
0,8	0,127959484
0,9	0,060782784

При h=0,001

x	v
0,1	0,847837114
0,2	0,71064162
0,3	0,587047475
0,4	0,475639925
0,5	0,375110282
0,6	0,284302292
0,7	0,202210287
0,8	0,127959485
0,9	0,060782782

О программе

При запуске программы все результаты подсчитываются автоматически. В появляющемся окне имеется 7 закладок:

·  Результаты. В трех таблицах (для h=0,1, n=0,01 и n=0,001) выводится таблично приближенное решение краевой задачи.

·  Матрица A для h=0,1.

·  Матрица А для h=0,01.

·  Матрица А для h=0,001.

·  График для h=0,1.

·  График для h=0,01.

·  График для h=0,001.

Вывод

В ходе выполнения курсовой работы был изучен и применен метод конечных разностей для решения нелинейной краевой задачи, а также метод Ньютона при решении нелинейной системы уравнений. Для решения поставленной задачи вышеперечисленными методами была написана программа на языке  C++ в среде программирования BuilderC++5.0.