Решение СЛАУ методом прогонки, простой итерации, методом Гаусса (исключения). Сплайн интерполяция, параболическая интерполяция, интерполяционный полином Лагранжа

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Министерство образования Российской Федерации

Югорский государственный университет

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине                     ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Тема 1: Решение СЛАУ методом прогонки, простой итерации, методом Гаусса (исключения)

Тема 2: Сплайн интерполяция, параболическая интерполяция, интерполяционный полином Лагранжа.

Автор: студент гр. 1132                          /________________/                 А.                                                                                  (подпись)                                                         (Ф.И.О.)

ОЦЕНКА:    _____________

Дата: ___________________

ПРОВЕРИЛ

Руководитель проекта   доцент       /________________/                     

                  (должность)                                             (подпись)                                     (Ф.И.О.)

Ханты-Мансийск

2005 год



Кафедра «Информационных технологий»

ЗАДАНИЕ

Студенту группы          1132                                   А.

(шифр группы)                                                       (Ф.И.О.)

1. Тема проекта: Использование информационных технологий для решения прикладных задач таких как решения СЛАУ итерационным методом (простой итерации), методом прогонки и метода исключения Гаусса; нахождения недостающих значений функции (интерполирования) с помощью и. полинома Лагранжа, сплайна, параболической интерполяции.

2. Исходные данные к проекту:

1) дана СЛАУ

2)  даны значения нек-рой функции (даны точки Xi, значения берутся из задания №1

3. Содержание пояснительной  записки: Пояснительная записка включает в себя задание на выполнение работы, титульный лист, аннотацию, оглавление, введение, собственно текст пояснительной записки, выводы, библиографический список.

4. Перечень графического материала: Представление результатов в виде графиков.

Дата выдачи задания: 25.08.2005


Аннотация.

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы нахождения неизвестных аргументов СЛАУ вышеуказанными методами и интерполяции. Расчеты проведены средствами пакета Microsoft Excel.


ЗАДАНИЕ. 2

Аннотация. 3

1. Постановка задачи. 5

Теоретическим минимум. 5

2.1 Метод прогонки: 5

2.2 Метод простой итерации. 6

2.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. 7

2.4 Интерполяционная формула Лагранжа. 7

2.5 Параболическая интерполяция. 9

2.6 Сплайн-интерполяция. 9

3. Расчеты в Microsoft Excel. 12

3.1   Решение СЛАУ методом простой итерации. 12

3.2   Решение СЛАУ методом прогонки. (СЛАУ таже) 13

3.3   Решение СЛАУ методом исключения Гаусса. (СЛАУ таже) 13

3.4 Интерполирование с помощью полинома Лагранжа. 14

3.5 Параболическое интерполирование. 14

3.6 Интерполирование сплайном.. 15

4. Построение графиков в Excel 17

Результаты интерполирования: 17

4.1 Приложение. 17

Заключение. 26

Список литературы. 27


 1. Постановка задачи.

Y1

Y2

Y3

F

10

4

0

13

2

10

5

14

0

2

10

15

1. Найти решение СЛАУ методом прогонки, простой итерации, методом Гаусса (исключения)

X

0

2

4

Y

Y1

Y2

Y3

2. Проинтерполировать найденные значения с помощью сплайна, параболической интерполяции, и по Лагранжу с шагом 0,01. Результаты представить на одном графике.

Теоретическим минимум.

2.1 Метод прогонки:

Метод прогонки состоит из прямой прогонки, т.е. нахождения промежуточных коэффициентов αk, βk, k=1,2,...n-1 по формулам:

;    k=1,…,n-1                                                 (1)

 -обратный ход прогонки;                 

k-1= αk-1k+ βk-1                                                                                   (2)

Подставим в выражение (1) вместо k-1 выражение (2), получим уравнение:

Прямой ход прогонки:

 

Пусть А – трёхдиагональная матрица, которую мы представим в виде

2.2 Метод простой итерации.

Приведем решаемую систему Ax=b эквивалентным преобразованием к виду:

x = C x + d

(1.11)

Это возможно сделать многими способами. Например, умножим слева обе части равенства 0 = -A x + b на произвольную невырожденную матрицу H и прибавим вектор x к правой и левой части полученного равенства:

x = x - H A x + H b = (E - H A) x + H b

Отсюда находим:

C º E - HA, d º Hb.

(1.12)

Матрицу H нужно выбирать так, чтобы C обладала определенными свойствами, о которых будет сказано ниже (теорема 1.1).

Итерационный процесс (то есть процесс последовательных приближений) метода простой итерации описывается формулой:

x(k+1) = C x(k) + d, k = 0, 1, ...,

(1.13)

где x(0) - некоторое начальное приближение к решению (обычно полагают x(0)=d).

В координатной форме метод простой итерации записывается следующим образом:

x1(k+1) = c11x1(k) + c12x2(k) + ... + c1nxn(k) + d1 x2(k+1) = c21x1(k) + c22x2(k) + ... + c2nxn(k) + d2 ... xn(k+1) = cn1x1(k) + cn2x2(k) + ... + cnnxn(k) + dn

Таким образом i-тая компонента (k+1)-го приближения к решению вычисляется по формуле

(1.14)

2.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса

  Рассматривается линейная система Ax = b, где A = ||aij|| - матрица системы, x = ||xi|| - вектор-столбец неизвестных, b = ||bi|| - вектор-столбец правых частей. Полагаем матрицу A невырожденной. Если A - вырожденная, то это обнаружится в процессе вычислений. Гауссово исключение состоит из двух этапов: прямого хода и обратной подстановки. Прямой ход заключается в преобразовании матрицы системы к верхнему треугольному виду:

Image820.gif (1760 bytes)

  Обратный ход заключается в решении системы с треугольной матрицей последовательным вычислением сначала xn из последнего уравнения, затем xn-1 - из предпоследнего, и т.д. до x1. Коэффициенты матрицы системы и правые части редко бывают известны точно. Ошибки округлений, совершенные в процессе вычислений почти всегда

Похожие материалы

Информация о работе